L'énoncé
Cocher la ou les bonnes réponses.
Tu as obtenu le score de
Question 1
Rappeler la forme des racines n-ièmes de l'unité.
$\{e^{\frac{ki\pi}{n}}|k\in \{0,...,n-1\}\}$
$\{e^{\frac{2ki\pi}{n}}|k\in \{0,...,n-1\}\}$
$\{e^{\frac{ki\pi}{n}}|k\in \{1,...,n\}\}$
$\{e^{\frac{2ki\pi}{n}}|k\in \{1,...,n\}\}$
Question 2
Quelles sont les racines carrées de :
$\dfrac{\sqrt{2}}{2} +i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\pm(\frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2} + i.\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{2}+2}})$
On a:
$\frac{\sqrt{2}}{2} +i\frac{\sqrt{2}}{2}=cos(\frac{\pi}{4})+i.sin((\frac{\pi}{4}))=e^{i\frac{\pi}{4}}=(e^{i\frac{\pi}{8}})^2$
Donc les racines sont:
$cos(\frac{\pi}{8})+i.sin(\frac{\pi}{8})$ et $-cos(\frac{\pi}{8})-i.sin(\frac{\pi}{8})$
Calculons $cos(\frac{\pi}{8})$ et $sin(\frac{\pi}{8})$.
On a:
$cos(2\times \frac{\pi}{8})=2cos^2(\frac{\pi}{8})-1\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{4}+1=cos^2(\frac{\pi}{8})\Leftrightarrow cos(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}$
$sin(2\times \frac{\pi}{8})=2cos(\frac{\pi}{8})sin(\frac{\pi}{8})\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=2sin(\frac{\pi}{8})\times\frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}\Leftrightarrow sin(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{2}+2}}$
$\frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2} + i.\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{2}+2}}$ et
$\frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2} - i.\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{2}+2}}$
$\pm(\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{3} + i.\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{\sqrt{3}+2}})$
$\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{3} + i.\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{\sqrt{3}+2}}$ et $\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{3} - i.\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{\sqrt{3}+2}}$
Question 3
Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
$z^8=625$
$z=\sqrt[8]{625}$
$z=\frac{5}{\sqrt5}e^{\frac{ki\pi}{7}}$ avec $k\in\{0,...,7\}$
$z={\sqrt5}e^{\frac{2ki\pi}{8}}$ avec $k\in\{0,...,7\}$
On sait que $625=5^4$ donc $625=(\sqrt5)^8$
Ainsi, on veut résoudre :
$(\frac{z}{\sqrt5})^8=1$
On cherche les racines huitièmes de l'unité :
$\frac{z}{\sqrt5}=e^{\frac{2ki\pi}{8}}$ avec $k\in\{0,...,7\}$
Ainsi, on obtient :
$z={\sqrt5}e^{\frac{2ki\pi}{8}}$ avec $k\in\{0,...,7\}$
$z=5e^{\frac{2ki\pi}{8}}$ avec $k\in\{0,...,7\}$
Remarquez que $625=5^4$
Question 4
Résoudre :
$z^6=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}$
$z=e^{\frac{i\pi(6k+1)}{36}}$ avec $k\in\{0,...,5\}$
$z=e^{\frac{i\pi(12k+1)}{36}}$ avec $k\in\{0,...,5\}$
On sait que:
$\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}=e^{-\frac{\pi}{6}}=(e^{-\frac{\pi}{36}})^6$
On obtient donc :
$(\frac{z}{e^{-\frac{\pi}{36}}})^6=1$
On cherche donc les racines sixièmes de l'unité :
$\frac{z}{e^{-\frac{\pi}{36}}}=e^{\frac{2ki\pi}{6}}$ avec $k\in\{0,...,5\}$
Donc $z=\frac{e^{\frac{2ki\pi}{6}}}{e^{-\frac{\pi}{36}}}=e^{\frac{i\pi(12k+1}{36}}$ avec $k\in\{0,...,5\}$
$z=e^{\frac{i\pi(18k+1)}{36}}$ avec $k\in\{0,...,5\}$
$e^{\frac{i\pi(24k+1)}{36}}$ avec $k\in\{0,...,5\}$
Trouvez la racine sixième de $\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}$
Question 5
Trouver la notation exponentielle de : $z=\sqrt3 + i$
$z=3e^{\frac{2i\pi}{3}}$
$z=\sqrt2e^{\frac{i\pi}{3}}$
$z=3e^{\frac{i\pi}{4}}$
$z=2e^{\frac{i\pi}{6}}$
On a $|z|=\sqrt{3+1}=2$
Donc $\frac{z}{2}=\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2}=e^{\frac{i\pi}{6}}$
Donc $z=2e^{\frac{i\pi}{6}}$
C'est une question de cours.