Fiche de cours
Les Racines n-ièmes de l’unité
Définition :
Soit $ n\in\mathbb{N^*}$, on appelle racine n-ième de l’unité tout nombre complexe $z$ qui vérifie $z^n=1$.
Intéressons-nous à la recherche des racines n-ièmes de l’unité .
On utilise l’écriture exponentielle d'un nombre complexe :
$\exists !\rho \in\mathbb{R^*}\;\;\exists ! \theta \in [0 ; 2\pi[\;\; z=\rho e^{i\theta}$
Soit $ n\in\mathbb{N^*}$, on résout $z^n=1$ :
$\Leftrightarrow\rho^n e^{ni\theta}=1$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}\rho^n=1 \\n\theta=0+2k\pi\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}\rho=1 \quad rq:\; \mathbb{U_n}\subset\mathbb{U}\ \\\theta=\frac{2k\pi}{n}\quad k\in\mathbb{Z }\end{array}\right.$
Donc l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité :
$\mathbb{U_n}=\{1,\; e^{\frac{2I\pi}{n}} \; e^{\frac{4I\pi}{n}} \; ,…, \; e^{\frac{2(n-1)I\pi}{n}}\}$
$\mathbb{U_n}=\{\omega_k, 0\leq k \leq n-1\}\; , \; \omega _k=e^{\frac{2ik\pi}{n}}= \omega _1^k$
Il y a donc n racines n-ièmes de l’unité ($card(\mathbb{U_n})=n$).
On remarque que la somme des racines n-i&egr