L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
Tu as obtenu le score de
Question 1
L'ensemble $\mathbb{U}$ est stable par passage à l'inverse ?
Oui
Non
On veut savoir si l'inverse d'un élément de $\mathbb{U}$ appartient aussi à $\mathbb{U}$.
Question 2
Quel(s) nombre(s) appartient/appartiennent à l'ensemble $\mathbb{U}$ ?
$-1$
$|-1| = 1$
Donc $-1 \in \mathbb{U}$
$\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$
$\left |\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}} \right | = |\sqrt{2}|\times \left |e^{i\frac{\pi}{3}} \right | = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$
Donc $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}} \notin \mathbb{U}$
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2} +i \dfrac{1}{2}$
$\left |-\dfrac{\sqrt{3}}{2} +i \dfrac{1}{2} \right | = \sqrt{{\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )}^2 + {\left ( \dfrac{1}{2} \right )}^2} = \sqrt{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}} = 1$
Donc $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} +i \dfrac{1}{2} \in \mathbb{U}$
Calculer le module des nombres précédents.
Question 3
Soit $z \in \mathbb{U}$,
Alors $-z \in \mathbb{U}$.
Vrai
En effet, on calcule le module de $-z$ :
$|-z|=|-1| \times |z| = 1 \times 1 = 1$ car $z \in \mathbb{U}$.
Faux
Calculer le module de $-z$.
Question 4
Soit $z \in \mathbb{C}$,
La partie réelle de $z$ vaut :
$x$
On n'a pas défini $x$.
$\dfrac{z + \overline{z}}{2}$
C'est une propriété.
$\dfrac{z - \overline{z}}{2}$
On pourra relire son cours sur la détermination de la partie réelle d'un nombre complexe.
Question 5
Soient $(u, v) \in \mathbb{U}^2$ tels que $uv \neq -1$.
$z = \dfrac{u + v}{1 + uv}$ est un nombre réel.
Vrai
On commence par calculer $\overline{z}$.
$\overline{z} = \dfrac{\overline{u + v}}{\overline{1 + uv}} = \dfrac{\overline{u} + \overline{v}}{1 + \overline{u}.\overline{v}}$.
On veut calculer la partie imaginaire de $z$. On s'inspire de la questions précédente.
En effet, on sait que $\mathcal{Im}(z) = \dfrac{z-\overline{z}}{2i}$.
$z-\overline{z} = \dfrac{u + v}{1 + uv} - \dfrac{\overline{u} + \overline{v}}{1 + \overline{u}.\overline{v}}$
On commence par écrire les fractions avec le même dénominateur.
$z-\overline{z} = \dfrac{(u + v)(1 + \overline{u}.\overline{v}) - (\overline{u} + \overline{v})\times (1 + uv)}{(1 + \overline{u}.\overline{v})(1 +uv)}$
On développe alors le numérateur :
$z-\overline{z} = \dfrac{u + v + u.\overline{u}.\overline{v} + v.\overline{u}.\overline{v} - \overline{u} - \overline{v} - \overline{u}uv - \overline{v}uv}{(1 + \overline{u}.\overline{v})(1 +uv)}$.
Or on sait que $(u, v) \in \mathbb{U}^2$. Donc $|u|=|v|=1$.
En outre, on sait que $u \overline{u} = |u|^2 = v \overline{v}= |v|^2 =1$.
Ainsi :
$z-\overline{z} = \dfrac{u + v + \overline{v}\times 1 + \overline{u}\times 1 - \overline{u} - \overline{v} - v\times 1 -u\times 1}{(1 + \overline{u}.\overline{v})(1 +uv)}= 0$.
Donc $\mathcal{Im}(z) = 0$. Ainsi, $z$ est un nombre réel.
Faux
On pourra s'aider de la question précédente.
En effet, soit $z \in \mathbb{U}$, alors $z \times \dfrac{1}{z} = 1$.
Donc $\dfrac{1}{z}$ est l'inverse de $z$.
Calculons le module de $\dfrac{1}{z}$ :
$|\dfrac{1}{z}| = \dfrac{|1|}{|z|}=\dfrac{1}{1} = 1$ (car $z \in \mathbb{U}$).
Donc $\dfrac{1}{z} \in \mathbb{U}$ donc l'ensemble $\mathbb{U}$ est stable par passage à l'inverse.