L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
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Question 1
Que désigne l'ensemble $\mathbb{U}$ ?
$\mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C}, Re(z) = 1\}$
$\mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C}, Im(z) = 1\}$
$\mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C}, |z| = 1\}$
Question 2
Quel nombre n'appartient pas à $\mathbb{U}$ ?
1
$-e^{i\frac{\pi}{2}}$
$2i$
En effet le module de $2i$ vaut 2.
Question 3
Dans le plan complexe, l'ensemble des points dont l'affixe est un nombre complexe de module 1 est :
Le cercle trigonométrique.
Le cercle trigonométrique correspond à l'ensemble des nombres complexes de module 1.
Une droite d'abscisse $z = 1$.
Une droite d'ordonnée $z = i$.
Question 4
Si le conjugué de $z$ est égal à l'inverse de $z$ alors $z \in \mathbb{U}$.
Vrai
En effet, il s'agit d'une propriété du cours importante !
Faux
Question 5
Soit $z$ un nombre complexe, si le conjugué de $z$ est égal à $z$, alors $z \in \mathbb{U}$.
Vrai
Faux
Il s'agit là d'une propriété démontrant que $z$ est un nombre réel.
Question 6
L'ensemble $\mathbb{U}$ est stable par la multiplication.
(Cela signifie que si on multiplie deux éléments de cet ensemble, le produit sera encore dans cet ensemble.)
Vrai
En effet, soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres appartenant à $\mathbb{U}$, alors $|z_1z_2| = |z_1||z_2| = 1 \times 1 = 1$. Donc $z_1z_2 \in \mathbb{U}$.
Faux
Question 7
Quel est le nom de la structure de $\mathbb{U}$ muni de la multiplication ?
Un anneau.
Un corps.
Un groupe abélien.
On parle aussi de groupe commutatif.
Question 8
Quelle est l'interprétation géométrique du produit d'un nombre complexe $z$ par un nombre complexe $u = e^{i\theta}$ appartenant à $\mathbb{U}$ ?
Cela revient à faire le symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
Cela revient à faire le symétrique par rapport à l'origine.
Il s'agit d'une rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$.
On obtient l'image de $z$ par le produit par $u$ en faisant tourner $z$ autour de $O$ par un angle $\theta$ égal à un argument de $u$.
Question 9
Soit $z \in \mathbb{C}^*$, quel nombre appartient à $\mathbb{U}$ ?
$\overline{z}$
$-z$
$\dfrac{z}{|z|}$
En effet, $\left | \dfrac{z}{|z|} \right | = \dfrac{|z|}{|z|} = 1$
Question 10
Comment peut-on écrire un nombre $u$ qui appartient à $\mathbb{U}$ ?
$e^{i\theta}$, avec $\theta \in ]-\pi; \pi]$.
En effet, $\left |e^{i\theta} \right | = 1$.
$e^\theta$, avec $\theta \in ]-\pi; \pi]$.
$\mathbb{U}$ correspond à l'ensemble des nombres complexes de module 1.