Nombre complexes, Formule de Moivre

Les formules de Moivre (Abraham de Moivre : 1667 - 1754)

Propriété : 

$\forall n\in\mathbb{Z},\;\forall x\in\mathbb{R}$

$(cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx)$

Démonstration :

Démontrons ce résultat par récurrence, en commençant à $n=1$ : nous traiterons le cas $n=0$ à part.

Initialisation :

Pour n=1 : on a directement $(cos(x)+isin(x))^1=cos(1\times x)+isin(1\times x)$

Hérédité :

Soit $ k\in\mathbb{N^*}$. On suppose que le prédicat est vraie pour n=k : $(cos(x)+isin(x))^k=cos(kx)+isin(kx)$ (on appelle cette formule l’hypothèse de récurrence)

Montrons que le prédicat est vrai pour n=k+1 :

$(cos(x)+isin(x))^{k+1}=(cos(x)+isin(x))^{k}( cos(x)+isin(x))$

Par hypothèse de récurrence :

$(cos(x)+isin(x))^{k+1} =(cos(kx)+isin(kx))( cos(x)+isin(x))$

$(cos(x)+isin(x))^{k+1}=cos(x)cos(kx)-sin(x)sin(kx)+i(cos(kx)sin(x)+sin(kx)cos(x))$

On utilise ensuite la formule de trigonométrie de 1^ère :

$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$

$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)$

On obtient donc: