L'énoncé
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Question 1
Comment s'écrit la factorisation de $a^n-b^n$ ?
$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k}$
$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$
$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$
Question 2
Quelles égalités sont vraies pour $n=3$ ?
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+2ab)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+ab)$
Ou encore : $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^3-b^3=a(a^2+ab+b^2)-b(b^2+ab+a^2)$
On peut développer pour s'en convaincre.
$a^3-b^3=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$
On peut réduire l'expression.
Question 3
Si $n$ est impair, comment écrire la relation $a^n+b^n$ ?
$(a+b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;(-b)^{k-1}$
$(a+b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$
$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;(-b)^{k-1}$
Question 4
A quoi est égal $a^4-b^4$ ?
$(a^2+b^2)(a^2-b^2)$
On utilise là une égalité remarquable.
$(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)$
On peut développer pour s'en convaincre.
$(a-b)(a^3+a^2b-ab^2-b^3)$
$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$
C'est une application de la formule du cours.
Question 5
Application : effectuer le calcul pour $7^3-5^3$ (tout faire à la main).
$218$
$7^3-5^3 = (7-5)(7^2+7\times 5+5^2) $
$7^3-5^3 = 2(49+35+25)$
$7^3-5^3 =2\times 109 =218$
$180$
$280$
C'est une propriété du cours