L'énoncé
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Question 1
Comment s'écrit la factorisation de $a^n-b^n$ ?
$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k}$
$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$
$(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$
Question 2
En utilisant une factorisation, que vaut $8^3-2^3$ ?
(sans calculatrice)
$32734$
$504$
$516$
Question 3
Comment s'écrit $a^2-b^2$ ?
$(a-b)(a-b)$
$(a-b)(a+b)$
$(a+b)(a+b)$
Question 4
Soit $a\in\mathbb{R}$. Comment s'écrit $a^3-2^3$ ?
$(a-2)(a^2+2a+4)$
$(a-2)(a^2+2a+8)$
$(a-2)(a^2+2a+2)$
Question 5
Comment s'écrit $a^4-b^4$ ?
$(a-b)(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)$
$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$
$(a-b)(a^3+2a^2b-2ab^2-b^3)$
Question 6
Comment prouve-t-on la relation $a^n-b^n=(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$ ?
On effectue un raisonnement par récurrence sur $\mathbb{N}.$
On utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.
On développe l'expression de $(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$ en distribuant $(a-b)$ et on réindexe une somme.
Question 7
Comment peut se réindexer cette somme ? $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k}\;b^{k-1}$
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1}\;b^{k-2}$
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1}\;b^{k}$
Question 8
Quelles sont les hypothèses pour avoir le droit d'utiliser la formule ?
$(a,b)\in\mathbb{C^2},n\in\mathbb{N}$
$(a,b)\in\mathbb{R^2},n\in\mathbb{N}$
$(a,b)\in\mathbb{R^2},n\in\mathbb{N^*}$
$(a,b)\in\mathbb{(C^*)^2},n\in\mathbb{N^*}$
$(a,b)\in\mathbb{C^2},n\in\mathbb{N^*}$
Question 9
$7^4-4^4$ est-il divisible par $3$ ?
Oui
En effet, on peut factoriser par $(7-4)=3$
Non
Question 10
Que vaut $a^n-b^n$ si $n$ vaut 0 ?
$a-b$
$0$
$a^0-b^0=1-1=0$
$1$
$8^3-2^3=(8-2)(8^2+8\times 2+2^2)$
$8^3-2^3 =6(64+16+4)=6\times 84=504$