L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
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Question 1
On donne la matrice de transition $P$ suivante :
$\left ( \begin{array}{cc} 0,25 & 0,75 \\ 0,4 & 0,6 \end{array} \right )$
Que vaut $P^2$ ?
$\left ( \begin{array}{cc} 0,0625 & 0,5625 \\ 0,16 & 0,36 \end{array} \right )$
$\left ( \begin{array}{cc} 0,3625 & 0,6375 \\ 0,34 & 0,66 \end{array} \right )$
$\left ( \begin{array}{cc} 0,0625 & 0,75 \\ 0,16 & 0,6 \end{array} \right )$
On pourra s'aider de la calculatrice.
Question 2
Si il existe $\Pi$ tel que $\Pi = \Pi P$ alors $P^n$ converge.
Vrai
Faux
La propriété du cours ne parle pas de la réciproque.
Que dit la propriété du cours ?
Question 3
Comment interpréter la distribution de probabilité stationnaire $\Pi$ ?
C'est l'état initial de la chaîne de Markov.
La fraction de temps passé en chaque état lorsque $n$ est grand.
Cela donne la probabilité à long terme d'être dans chaque état.
C'est la limite des probabilités de transition.
Comment interprète-t-on une limite ?
Question 4
On donne $P = \left ( \begin{array}{cc} 0,25 & 0,75 \\ 0,5 & 0,5 \end{array} \right )$ et on suppose que $P^n$ converge. Calculer la distribution de probabilité stationnaire $\Pi$.
$\Pi = \left ( \begin{array}{cc} 0,5 & 0,5 \end{array} \right )$
$\Pi = \left ( \begin{array}{cc} \dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5} \end{array} \right )$
$\Pi = \left ( \begin{array}{cc} \dfrac{2}{5} & \dfrac{3}{5} \end{array} \right )$
Soient $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $\Pi = \left ( \begin{array}{cc} a & b \end{array} \right )$.
On résout l'équation suivante : $\Pi = \Pi P$.
$\left ( \begin{array}{cc} a & b \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc} 0,25 a + 0,75 b & 0,5a + 0,5b \end{array} \right )$.
On réécrit donc cette équation sous forme d'une système d'équations.
$\left \{ \begin{array}{lcl} 0,25 a + 0,5 b &=& a\\ 0,75a + 0,5b &=& b \end{array} \right. \iff \left \{ \begin{array}{lcl} -0,75 a + 0,5 b &=& 0 \\ 0,75 a - 0,5 b &=& 0 \end{array} \right. \iff a = \dfrac{2}{3} b$
Or on se rappelle que la somme des probabilités vaut $a + b = 1$. Ainsi, comme $a = \dfrac{2}{3} b$ on a $ \dfrac{5}{3}b = 1$ et donc $b = \dfrac{3}{5}$ et $a = \dfrac{2}{5}$
Ecrire un système d'équations...
Question 5
On donne $P = \left ( \begin{array}{cc} 0,4 & 0,6 \\ 0,2 & 0,8 \end{array} \right )$ et on suppose que $P^n$ converge. Conjecturer la limite de $P^n$.
$\left ( \begin{array}{cc} 0,4 & 0,6 \\ 0,2 & 0,8 \end{array} \right )$
$\left ( \begin{array}{cc} 0,2500738 & 0,7499262 \\ 0,249974 & 0,750026 \end{array} \right )$
$\left ( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \end{array} \right )$
Lorsque $n$ est grand, $P^n$ semble converger vers :
$\left ( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \end{array} \right )$.
Il est possible de montrer qu'elle converge bien vers cette matrice.
On pourra s'aider de la calculatrice.
$\left ( \begin{array}{cc} 0,25 & 0,75 \\ 0,4 & 0,6 \end{array} \right )^2 $
$= \left ( \begin{array}{cc} 0,25 & 0,75 \\ 0,4 & 0,6 \end{array} \right ) \times \left ( \begin{array}{cc} 0,25 & 0,75 \\ 0,4 & 0,6 \end{array} \right )$
$ = \left ( \begin{array}{cc} 0,25 \times 0,25 +0,4 \times 0,75 & 0,25 \times 0,75 + 0,75 \times 0,6 \\ 0,25 \times 0,4 +0,4 \times 0,6 & 0,4 \times 0,75 + 0,6 \times 0,6 \end{array} \right ) $
$= \left ( \begin{array}{cc} 0,3625 & 0,6375 \\ 0,34 & 0,66 \end{array} \right )$