L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
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Question 1
Les chaînes de Markov sont utilisées uniquement en Mathématiques.
Vrai
Faux
Question 2
A quoi servent les chaînes de Markov ?
On se le demande encore.
A prédire et estimer l'évolution d'une situation.
Elles permettent d'estimer et de prédire le futur d'une situation.
Il s'agit d'une règle de dérivation pour les fonctions composées.
Question 3
Que désigne la probabilité $p_{ij}$ ?
La probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$.
Elle se situe à l'intersection de la ligne $i$ avec la ligne $j$.
La probabilité de passer de l'état $j$ à l'état $i$.
Il s'agit du produit de $p_i$ par $p_j$.
Question 4
Où se situe la probabilité $p_{ij}$ dans la matrice de transition ?
A l'intersection de la $i$ ème colonne et de la $j$ ème ligne.
A l'intersection de la $i$ ème ligne et de la $j$ ème colonne.
C'est en effet la manière dont est construite la matrice de transition.
Question 5
Que désigne la probabilité $p_{ij}^{(n)}$ ?
De passer $n$ fois de l'état $i$ à l'état $j$.
De passer en $n$ étapes de l'état $i$ à l'état $j$.
C'est une définition.
C'est simplement $p_{ij}$ à la puissance $n$.
Question 6
Comment note-on la matrice de l'état initial ?
$\Pi_0$
Il s'agit d'une matrice ligne.
$P_0$
$P^{(0)}$
Question 7
Quelle est la relation entre $\Pi_{n+1}$ et $\Pi_n$ ?
$\Pi_{n+1} = P \Pi_n$
Il n'est pas possible d'effectuer le produit d'une matrice carrée par une matrice ligne dans cet ordre.
$\Pi_{n+1} = \Pi_n P$
La matrice de transition permet de passer d'un état au suivant.
$\Pi_{n+1} = \Pi_n p_{ij}$
Question 8
Comment peut-on calculer $\Pi_n$ ?
$\Pi_n = \Pi_0 P^n$
On utilise pour démontrer cette propriété la formule de la question précédente. On a définit en effet une suite par récurrence.
$\Pi_n = P^n \Pi_0 $
$\Pi_n = P_n \Pi_0 $
Question 9
Si $P^n$ converge, quelle relation la distribution de probabilité $\Pi$ vérifie ?
$\Pi = P$
$\Pi = \Pi P^n$
$\Pi = \Pi P$
La distribution de probabilité $\Pi$ est stationnaire et on peut calculer sa valeur par la relation $\Pi = \Pi P$, qui correspond à la limite de $\Pi_n$ pour $n$ grand.
Question 10
La distribution de probabilité $\Pi$ dépend de l'état initial.
Vrai
Faux
En effet, $\Pi$ est défini par la formule $\Pi = \Pi P$ et ne dépend donc que de $P$. On ne voit ainsi par intervenir $\Pi_0$.
Elles sont utilisées en physique, en biologie, en économie pour prédire le futur.