L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
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Question 1
On considère une chaîne de Markov à trois états $A$, $B$, $C$ dont la matrice de transition est donnée par :
$\left ( \begin{array}{ccc} \dfrac{1}{3} & 0 &\dfrac{2}{3} \\ 0,25 & 0,5 & 0,25 \\ \dfrac{1}{8} & \dfrac{7}{8} & 0 \\ \end{array} \right )$
Donner le graphe des états.
Aucune des réponses proposées.
On pourra reprendre la partie du cours traitant de la matrice de transition.
Question 2
On dispose dans une maison de deux types de chauffage : un chauffage de fond et un chauffage d'appoint.
Si le chauffage de fond fonctionne seul, on suppose que l'on se trouve dans le système 0.
Si les deux chauffages fonctionnent en même temps, on se trouve dans le système 1.
Si un jour seul le chauffage de fond fonctionne, on se trouve le lendemain dans l'état 0 avec une probabilité $\dfrac{1}{3}$.
Si un jour les deux chauffages fonctionnent, on se trouve dans l'état 0 le jour suivant avec une probabilité $\dfrac{4}{5}$.
Donner la matrice de transition.
$\left ( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{3} & 0 \\ \dfrac{4}{5} & 0 \\ \end{array} \right )$
$\left ( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{4}{5} & \dfrac{1}{5} \\ \end{array} \right )$
Si un jour on se trouve dans l'état $0$, le lendemain la probabilité d'y rester est de $\dfrac{1}{3}$. Comme il n'y a que deux états, la probabilité de changer d'état est de $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$. On a donc les coefficients de la première ligne dans l'ordre.
Si un jour on se trouve dans l'état $1$, le lendemain la probabilité de retourner à l'état $0$ est de $\dfrac{4}{5}$. Comme il n'y a que deux états, la probabilité de rester dans le même état est de $1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$
$\left ( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{5} \\ \dfrac{4}{5} & \dfrac{2}{3} \\ \end{array} \right )$
Pour trouver les probabilités manquantes, on pourra utiliser l'évènement contraire.
Question 3
On considère trois tarifs possibles pour un contrat d'assurance automobile : Bas, Normal, Haut.
La première année, une personne souscrivant à un contrat paie le tarif normal.
Si la personne n'a pas été responsable d'un accident pendant l'année, elle paie alors le tarif inférieur l'année suivante. Si elle le payait déjà, elle continue de payer ce tarif.
Inversement, si la personne a été responsable d'au moins un accident pendant l'année, elle paie alors le tarif supérieur l'année suivante. Si elle le payait déjà, elle continue de payer ce tarif.
En sachant qu'on estime à $15\%$ la probabilité de commettre au moins un accident pendant une année, donner la matrice de l'état initial.
$\left ( \begin{array}{ccc} 0,15 & 0,15 & 0,15 \end{array} \right )$
$\left ( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \end{array} \right )$
On sait que la première année, une personne paie le prix normal. Donc cela signifie que la probabilité d'être dans l'état $N$ normal est de $1$.
On ne peut pas savoir.
La matrice de l'état initial est une matrice ligne.
Question 4
On considère trois tarifs possibles pour un contrat d'assurance automobile : Bas, Normal, Haut.
La première année, une personne souscrivant à un contrat paie le tarif normal.
Si la personne n'a pas été responsable d'un accident pendant l'année, elle paie alors le tarif inférieur l'année suivante. Si elle le payait déjà, elle continue de payer ce tarif.
Inversement, si la personne a été responsable d'au moins un accident pendant l'année, elle paie alors le tarif supérieur l'année suivante. Si elle le payait déjà, elle continue de payer ce tarif.
En sachant qu'on estime à $15\%$ la probabilité de commettre au moins un accident pendant une année, donner le graphe des états.
Lorsque l'on se trouve dans un état, la probabilité de passer à un état supérieur (de la gauche vers la droite) correspond à la probabilité d'avoir causé un accident soit $0,15$.
Inversement, lorsque l'on se trouve dans un état, la probabilité de passer à un état inférieur (de la droite vers la gauche) correspond à la probabilité de ne pas avoir causé un accident soit $1 - 0,15 = 0,85$.
Quelle est la probabilité de ne pas avoir causé d'accident ?
Question 5
On considère une chaîne de Markov à trois états $1$, $2$, $3$ dont la matrice est donnée par :
$\left ( \begin{array}{ccc} \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{2} &\dfrac{3}{8} \\ 0,5 & 0,5 & 0 \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{5} & \dfrac{1}{3} \\ \end{array} \right )$
Donner le graphe des états.
Aucune des réponses proposées.
En effet, il ne s'agit même pas d'une matrice de transition car la somme de la troisième ligne est supérieure à 1 !
Que vaut la somme d'une ligne d'une matrice de transition ?
Pour construire ce graphe, on utilise la matrice de transition. L'intersection d'une ligne et d'une colonne donne la probabilité pour aller de l'état de la ligne vers l'état de la colonne.
Ainsi, la lecture de la première ligne donne que si on se trouve dans l'état $A$, on a 1 chance sur $3$ de se retrouver à l'état $A$ à l'instant d'après, $0$ chance de se retrouver à l'état $B$ et $2$ chances sur $3$ de se retrouver à l'état $C$.
On fait de même pour les autres états. On vérifie à la fin que la somme des probabilités des arrêtes sortantes vaut $1$.