L'énoncé
Soient \(X\) et \(Y\) les matrices suivantes :
\(X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\) et \(Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
\(X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\) et \(Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
Question 1
Calculer les produits \(XY\) et \(YX\) et déterminer les inverses de \(X\) et de \(Y\).
\(XY = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = YX = 5I\)
\(X^{-1} = \dfrac{1}{5} Y\)
\(Y^{-1} = \dfrac{1}{5} X\)
Savez-vous déterminer l’inverse d’une matrice ?
Par définition, si \(AB = I\), \(B\) est l’inverse de \(A\) !
Par définition, si \(AB = I\), \(B\) est l’inverse de \(A\) !
Question 2
Calculer \((A \times B) \times (B^{-1} \times A^{-1})\), pour \(A\) et \(B\) deux matrices carrées inversibles de même ordre.
Le produit de matrices étant associatif :
\((A \times B) \times (B^{-1} \times A^{-1}) = A \times (B \times B^{-1}) \times A^{-1}\)
\((A \times B) \times (B^{-1} \times A^{-1}) = A \times I \times A^{-1}\)
\((A \times B) \times (B^{-1} \times A^{-1}) = I\)
Pensez à utiliser les propriétés des matrices : Le produit de matrices est...
Le produit des matrices est associatif !
Le produit des matrices est associatif, donc \((A \times B) \times (B^{-1} \times A^{-1}) = A \times (B \times B^{-1}) \times A^{-1}\)
Le produit des matrices est associatif !
Le produit des matrices est associatif, donc \((A \times B) \times (B^{-1} \times A^{-1}) = A \times (B \times B^{-1}) \times A^{-1}\)
Question 3
En déduire que le produit \(AB\) est inversible et préciser son inverse.
\(AB\) est donc inversible, d'inverse \((A \times B)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}\)
La question débute par « En déduire », pensez donc à utiliser la question précédente.
\((A \times B) \times (B^{-1} \times A^{-1}) = I\).
Donc \((A \times B)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}\) .
\((A \times B) \times (B^{-1} \times A^{-1}) = I\).
Donc \((A \times B)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}\) .