Fiche de cours
Matrices et systèmes d'équations linéaires
Définition
On considère le système d'équations suivant :
$\left \{ \begin{array}{rccc}x+y+2z & = &9 \\ x-y+z&=&2 \\ 2x+y-z & = & 1 \\ \end{array} \right.$
Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :
$A =\begin{pmatrix}
1 & 1&2 \\
1 & -1&1\\
2 & 1&-1\\
\end{pmatrix}$ ; $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z\\
\end{pmatrix} $ et
$B =\begin{pmatrix}
9\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}. $
Le système se traduit alors par : $AX=B$.
Propriété
Si $AX=B$ et $A$ inversible alors
$X=A^{-1} \times B$.
Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse $A^{-1}$ est donnée dans l'énoncé.
Etape 2 : On effectue le produit $X=A^{-1} \times B$.
Le calcul nous permet de conclure que :
$X =\begin{pmatrix}
1 \\
2\\
3\\
\end{pmatrix} $.
La solution du système est donc le triplet $(1;2;3)$.
Exemple avec un système linéaire d'équations d'ordre 2.
Résoudre le système d'équations suiv