Partie A

On considère l’équation suivante dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers naturels : $x^2 −8y^2 = 1.$       $(E)$

1. Déterminer un couple solution $(x ; y)$ où $x$ et $y$ sont deux entiers naturels.

2. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 
 3& 8\\
1 & 3\\
\end{pmatrix} $   

On définit les suites d’entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ par : $x_0 = 1, y_0 = 0$, et pour tout entier naturel $n$,

$\begin{pmatrix} 
x_{n+1}\\y_{n+1}

\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} 
x_n\\y_n \end{pmatrix}  $ 

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, le couple  $(x_n ; y_n)$ est solution de l’équation $(E)$.

b. En admettant que la suite ($x_n$) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $x_{n+1} > x_n$.

3. En déduire que l’équation ($E$) admet une infinité de couples solutions.

Partie B

Un entier naturel $n$ est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier $p$ de $n$, $\ \ p^2$ divise $n$.

1. Vérifier qu’il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à $10$ qui sont puissants.

L’objectif de cette partie est de démontrer, à l’aide des résultats de la partie A, qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d’en trouver quelques exemples.

2. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. Montrer que l’entier naturel $n = a^2b^3$ est un nombre puissant.

3. Montrer que si $(x ; y)$ est un couple solution de l’équation $(E)$ définie dans la partie A, alors $x^2 −1$ et $x^2$ sont des entiers consécutifs puissants.

4. Conclure quant à l’objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants. Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à $2018$.