L'énoncé
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Question 1
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs et $n$ un entier vérifiant $n\geq 2$. On dit que $a$ est congru à $b$ modulo $n$ si et seulement si :
$a+b$ divise $n$
$a-b$ divise $n$
$n$ divise $a+b$
$n$ divise $a-b$
Question 2
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs et $n$ un entier vérifiant $n\geq 2$. On dit que $a$ est congru à $b$ modulo $n$ si et seulement si :
$a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par $n$
C'est une autre façon de formuler la définition
$a$ et $b$ ont des restes différents dans la division euclidienne par $n$
$a$ et $b$ sont des multiples de $n$
$a$ et $b$ ont le même quotient dans la division euclidienne par $n$
Question 3
On a :
$61 \equiv 41 [10]$
En effet $61-41=20$ et $10$ divise $20$
$61 \equiv 39 [10]$
$60\equiv 41 [10]$
$61 \equiv 20 [10]$
Question 4
On a :
$38 \equiv 11 [7]$
$38 \equiv 10 [7]$
En effet $38-10=28$ et $7$ divise $28$
$38 \equiv 9 [7]$
$38 \equiv 8 [7]$
Question 5
$86=5\times 17 +1$
$188= 17\times 11 +1$ donc :
$86\equiv 188 [1]$
$86\equiv 188 [17]$
$86=17\times 5 +1$
$188= 17\times 11 +1$
Dans la division euclidienne par $17$, ces deux nombres ont le même reste : $1$
$86\equiv 188 [11]$
Question 6
Si $a\equiv b [n]$ et $b\equiv c [n]$ alors :
on ne peut pas conclure
$a\equiv c [n]$
$a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par $n$
$b$ et $c$ ont le même reste dans la division euclidienne par $n$ donc :
$a$ et $c$ ont le même reste dans la division euclidienne par $n$.
$a\equiv n [c]$
Question 7
Si $a\equiv b [n]$ alors pour tout entier relatif $c$ :
$a+b\equiv b+c [n]$
$a+c\equiv b+c [n]$
L'addition est compatible avec la congruence.
$a+c\equiv b+c [n+c]$
Question 8
Si $a\equiv b [n]$ alors pour tout entier relatif $c$ :
$ac\equiv bc [n]$
La multiplication est compatible avec la congruence.
$ac\equiv bc [nc]$
$an\equiv bn [c]$
Question 9
Si $2a\equiv 2b [n]$ alors $a\equiv b [n].$
Vrai
Faux
La division n'est pas compatible avec la congruence.
Contre exemple : $22 \equiv 12 [2]$ mais $11$ n'est pas congru à $6$ modulo $2$
Question 10
Si $a\equiv b [n]$ alors pour tout entier naturel $k$ :
$a^n\equiv b^n [k]$
$a^k\equiv b^k [n^k]$
$a^k\equiv b^k [n]$
Les puissances sont compatibles avec les congruences.
C'est une définition.