L'énoncé
Répondez à la question posée en prenant soin de bien rédiger la réponse.
Question 1
Résoudre dans $\matnbb{N}$ : \(x^5 \equiv x[30]\)
\(x^5 \equiv x[30] \Leftrightarrow x(x^4-1)\equiv 0[30]\)
\(\Leftrightarrow x(x^2+1)(x-1)(x+1) \equiv 0[30]\)
\(x, (x-1)\) et \((x+1)\) sont 3 entiers consécutifs donc leur produit est multiple de 2 et 3 donc de 6.
Or \(30=6 \times 5\) et 5 et 6 sont premiers entre eux.
On sait que : \(x^5 \equiv x[30] \Leftrightarrow x(x^2+1)(x-1)(x+1) \equiv 0[5]\)
Ainsi :
si \(x\) est multiple de 5, alors \(x \equiv 0[5]\)
si \(x \equiv 1[5]\), \(x-1 \equiv 0[5]\)
si \(x \equiv 2[5]\), \(x^2+1 \equiv 0[5]\)
si \(x \equiv 3[5]\), \(x^2+1 \equiv 0[5]\)
si \(x \equiv 4[5]\), \(x+1 \equiv 0[5]\)
Conclusion : pour tout entier naturel \(x\), on a donc \(x^5 \equiv x[30]\).
Pensez à factoriser \(x^5-x\). Avez-vous utilisé une identité remarquable ?
Avez-vous obtenu \(x(x^2+1)(x-1)(x+1)\) ?
Remarquez que cette décomposition contient trois nombres consécutifs. Que peut-on dire de leur produit ?
\(x^5-x\) est donc multiple de 6. Pour trouver les \(x\) tels que \(x^5 \equiv x[30]\) il suffit donc de trouver ceux qui sont multiples de 5.
Étudiez les congruences de \(x\) modulo 5.
Quels sont les \(x\) solutions ?