L'énoncé
- Cocher la ou les bonnes réponses
Tu as obtenu le score de
Question 1
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = -u_n - 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, que vaut $u_n$ ?
$u_n = 2-3n$
$u_n = \dfrac{7}{2} (-1)^n - \dfrac{3}{2}$
$u_n = 2$
On utilisera la méthode du cours.
Question 2
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 4u_n + 2$ et $u_0 = -3$, alors
$(u_n)$ est croissante.
$(u_n)$ est décroissante.
En effet, la méthode employée ici consiste à trouver la formule explicite de $(u_n)$.
Soit $ l \in \mathbb{R}$ tel que $l = 4l + 2$,
Ainsi, $ l = - \dfrac{2}{3}$.
On pose $v_n = u_n + \dfrac{2}{3}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Soit $n \in \mathbb{N}$,
$ v_{n+1} = u_{n+1} + \dfrac{2}{3} = 4u_n + \dfrac{8}{3} = 4v_n$
Or $v_0 = u_0 + \dfrac{2}{3} = - \dfrac{7}{3}$.
Finalement, $u_n = - \dfrac{7}{3} \times 4^n - \dfrac{2}{3}$.
Enfin, comme $- \dfrac{7}{3} \times 4^{n+1} - \dfrac{2}{3} \leq - \dfrac{7}{3} \times 4^{n+1} - \dfrac{2}{3}$ pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \leq u_n$ donc $(u_n)$ est décroissante.
$\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = -\dfrac{2}{3}$
On pourra commencer par expliciter $u_n$ à l'aide de la méthode du cours.
Question 3
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 0.9u_n + 4$ et $u_0 = 2$, alors
$\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = 0$
$\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = 4$
$\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = 40$
En effet, soit $l \in \mathbb{N}$ tel que $l = 0.9l + 4$ alors $l = 40$.
On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ $v_n = u_n - 40$.
Soit $n \in \mathbb{N}$,
$v_{n+1} = u_{n+1} - 40 = 0.9u_n - 36 = 0.9(u_n - 40) = 0.9v_n$.
$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $0.9$ et de premier terme $v_0 = -38$.
Ainsi, $u_n = -38\times 0.9^n + 40$.
Or $-1 < 0.9 < 1$ donc $\lim \limits_{n \to + \infty} 0.9n = 0$.
Finalement, $\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = 40$ par produit et somme de limites.
On commencera par expliciter $u_n$...
... puis on appliquera une propriété sur la limite de suites géométriques.
Question 4
On peut montrer que $u_n = v_0\times a^n + l$.
A quelle(s) condition(s) $u_n$ converge ?
$a > 1$
$a \in [0; 1[$
En effet, si $a \in [0; 1$, alors d'après le cours $a^n$ tend vers 0. Si $a > 1$ alors $a^n$ tend vers $+ \infty$
$a \in ]-1; 0]$
En effet, si $a \in ]-1; 0]$, alors d'après le cours $a^n$ tend vers 0. Si $a \leq -1$ alors $a^n$ n'a pas de limites.
On utilisera le cours sur les limites de suites géométriques
Question 5
On peut montrer que $u_n = v_0\times a^n + l$.
Si $a \in ]-1; 1[$, que vaut $\lim \limits_{n \to + \infty} u_n $ ?
$v_0$
$l$
En effet, d'après le cours comme $a \in ]-1; 1[$, $\lim \limits_{n \to + \infty} a^n = 0$.
Ainsi $\lim \limits_{n \to + \infty} v_0 \times a^n = 0$ par produit de limites.
Finalement, $\lim \limits_{n \to + \infty} v_0 \times a^n + l = l$ par somme de limites.
$v_0 + l$
On utilisera le cours sur les limites de suites géométriques
En effet, soit $l \in \mathbb{R}$,
$l = -l - 3$
$\iff 2l = -3$
$\iff l = -\dfrac{3}{2}$
Soit $(v_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ telle que $v_n = u_n - \left (-\dfrac{3}{2} \right ) = u_n +\dfrac{3}{2}$,
Soit $n \in \mathbb{N}$,
$\begin{align} v_{n+1} &=& u_{n+1} + \dfrac{3}{2}\\ &=& -u_n - 3 + \dfrac{3}{2} \\&=& -u_n - \dfrac{3}{2} \\ &=& -v_n \end{align}$.
Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0 = 2 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2}$ et de raison $-1$.
Finalement, comme $v_n = u_n + \dfrac{3}{2}$ alors $u_n = \dfrac{7}{2} (-1)^n - \dfrac{3}{2}$