L'énoncé
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Question 1
$(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique s'il existe $a, b$ réels tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$,
$u_{n+1} = u_n^a \times b$
$u_{n+1} =a\times u_n + b$
$u_{n+1} = u_n^a - b$
Question 2
On a $u_{n+1} =a\times u_n + b$ et on note $l$ sa limite si elle existe.
Quelle équation doit-on résoudre en premier ?
$l = al + b$
C'est la bonne réponse.
$bl = al - l$
$0 = al + b$
Question 3
Quelle est l'expression de la nouvelle suite ?
$v_n = l\times u_n$
$v_n = u_n + l$
$v_n = u_n - l$
C'est la bonne expression. $(v_n)$ est une suite auxiliaire.
Question 4
Quel est la nature de la suite $v_n=u_n-l$ ?
C'est une suite arithmétique.
C'est une suite géométrique.
En effet, mais il faudra le démontrer à chaque fois.
C'est une suite constante.
Question 5
Que permet l'utilisation de la nouvelle suite $v_n=u_n-l$ ?
De déterminer l'expression de $u_n$.
En effet, on peut trouver facilement l'expression de $v_n$ puis on utilise la relation $v_n = u_n - l$.
De déterminer uniquement la limite de la suite $(u_n)$.
De déterminer uniquement les variations de la suite $(u_n)$.
Question 6
Si $u_{n+1} = 2u_n + 3$, que vaut $l$ ?
$ l = -\dfrac{3}{2}$
$l = - 3$
En effet, $l$ vérifie l'équation $l = 2l + 3 \iff -l = 3 \iff l = -3$
$l = 1$
Question 7
Qu'elle est la bonne expression de $v_n$ lorsque $u_{n+1} = 2u_n + 3$ ?
$v_n = -3u_n$
$v_n = u_n - 3$
$v_n = u_n + 3$
En effet, $(v_n)$ est définie par $v_n = u_n - l = u_n - (-3) = u_n + 3$
Question 8
Que vaut $q$ dans l'expression $v_{n+1} = q \times v_n$ si $u_{n+1} = 2u_n + 3$ ?
$q = 2$
En effet, soit $n \in \mathbb{N}$,
$v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 3 + 3 = 2(u_n + 3) = 2v_n$, donc $q = 2$.
$q = 1$
$q = -3$
Question 9
On a : $u_{n+1} = 2u_n + 3$ et $v_{n+1}=2v_n$
Que vaut $v_0$ si $u_0 = 1$ ?
$v_0 = -2$
$v_0 = 1$
$v_0 = 4$
En effet, $v_0 = u_0 + 3 = 1 + 3 = 4$
Question 10
Finalement que vaut $u_n$ sachant que $u_{n+1} = 2u_n + 3$ et $v_{n+1}=2v_n$ ?
On ne sait pas.
$u_n = 4\times 2^n - 3$
En effet, $v_n = v_0 \times q^n = 4 \times 2^n$.
Ainsi, $u_n = v_n + l = 4\times 2^n - 3$
$u_n = 4 \times 2^n + 3$
C'est la bonne définition