Fiche de cours
Suites arithmético-géométriques
Définition :
Une suite $(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique s'il existe $a, b$ réels tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$,
$u_{n+1} = au_n + b$.
On donne la méthode générale pour déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. Dans les exercices, les questions devraient guider à la résolution du problème.
Méthode
1) On reconnait $a$ et $b$ dans $u_{n+1} = au_n + b$ et on résout $l = al + b$.
2) On montre que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - l$ est une suite géométrique $(v_{n+1} = q \times v_n)$ et on détermine $v_0$.
3) On exprime $v_n$ en fonction de $n$ ($v_n = v_0 \times q^n$) puis $u_n$ en fonction de $n$ ($u_n = v_0\times q^n + l$)
Exemple :
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 3u_n -6$
On souhaite déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique avec $a = 3$ et $b = -6$.
On résout l'équation $l = 3l - 6$
$l = 3l - 6 \iff -2l = - 6 \iff l = 3$
On pose $v_n = u_n - 3$ pour tout entier naturel