L'énoncé
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Question 1
Que vaut $\lim \limits_{n \to + \infty} \left ( 1747 + 3 \times \left ( \dfrac{4}{5} \right )^n \right )$ ?
$0$
$1750$
$1747$
On se demandera d'abord quelle est la limite de $\left ( \dfrac{4}{5} \right )^n$ .
Question 2
Que vaut $\lim \limits_{n \to + \infty}\left ( 50 - \dfrac{2^n}{3}\right )$ ?
$50$
$-\infty$
Tout d'abord, on remarque que $- \dfrac{2^n}{3} = -\dfrac{1}{3} \times 2^n$.
Or, comme $2 > 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} 2^n = + \infty$.
En outre, $\lim \limits_{n \to + \infty} -\dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{3}$ donc $\lim \limits_{n \to + \infty} - \dfrac{2^n}{3} = - \infty$ par produit de limites.
Enfin, $\lim \limits_{n \to + \infty}\left ( 50 - \dfrac{2^n}{3}\right ) = - \infty$ par somme de limites.
$+ \infty$
On pourra remarquer que $- \dfrac{2^n}{3} = -\dfrac{1}{3} \times 2^n$
Question 3
Que vaut $\lim \limits_{n \to + \infty}\left ( -750+ \dfrac{6}{3^n}\right )$ ?
$-750$
Tout d'abord, on remarque que $\dfrac{6}{3^n} = 6\times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^n $.
Or, comme $-1 < \dfrac{1}{3}<1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} \left ( \dfrac{1}{3} \right )^n = 0$.
En outre, $\lim \limits_{n \to + \infty}6 = 6$ donc $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{6}{3^n} = 6 \times 0 = 0$ par produit de limites.
Enfin, $\lim \limits_{n \to + \infty}-750 = - 750$ donc $\lim \limits_{n \to + \infty}\left ( -750+ \dfrac{6}{3^n}\right ) = -750 + 0 = -750$ par somme de limites.
$+ \infty$
$-744$
On pourra remarquer que $\dfrac{6}{3^n} = 6\times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^n $.
Question 4
Que vaut la limite de la suite géométrique de raison $\dfrac{7}{3}$ et de premier terme $0.1$ ?
$0$
$0.1$
$+ \infty$
La suite géométrique de raison $\dfrac{7}{3}$ et de premier terme $0,1$ s'écrit $0,1 \times \left ( \dfrac{7}{3} \right )^n$.
Or $\dfrac{7}{3} > 1$ donc d'après le cours $ \lim \limits_{n \to + \infty} \left ( \dfrac{7}{3} \right )^n = + \infty$.
Finalement, $\lim \limits 0,1 \times \left ( \dfrac{7}{3} \right )^n = + \infty$ par produit de limites.
On commencera par expliciter la suite géométrique.
Question 5
Que vaut $\lim \limits_{n \to + \infty}\left ( \left (\dfrac{3}{2}\right )^n - \left (\dfrac{2}{3}\right )^n \right )$ ?
On ne peut pas savoir
$+ \infty$
En effet, comme $\dfrac{3}{2} > 1$ $\lim \limits_{n \to + \infty}\left (\dfrac{3}{2}\right )^n = + \infty$.
De plus, comme $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty}\left (\dfrac{2}{3}\right )^n = 0$ ainsi, $\lim \limits_{n \to + \infty}-\left (\dfrac{2}{3}\right )^n = 0$ par produit de limites.
Finalement, $\lim \limits_{n \to + \infty}\left ( \left (\dfrac{3}{2}\right )^n - \left (\dfrac{2}{3}\right )^n \right ) = + \infty$ par somme de limites
0
On calculera chaque limite séparément.
En effet, comme $-1 < \dfrac{4}{5} < 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} \left ( \dfrac{4}{5} \right )^n = 0$.
Or, $\lim \limits_{n \to + \infty} 3 = 3$.
Ainsi, $\lim \limits_{n \to + \infty} 3 \times \left ( \dfrac{4}{5} \right )^n = 3 \times 0 = 0$, par produit de limites.
Finalement, comme $\lim \limits_{n \to + \infty} 1747 = 1747$, alors $\lim \limits_{n \to + \infty}\left ( 1747 + 3 \times \left ( \dfrac{4}{5} \right )^n \right )= 1747 + 0 = 1747$ par somme de limites.