L'énoncé
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Question 1
On pose $z = \ln y$. On trouve alors $z = 0.2x + 3$.
Donner la relation reliant $x$ et $y$.
$y = \ln 0.2 x + \ln 3$
$y = 20e^{0.2x}$
$y = e^{0.2x} + 20$
On pourra appliquer la fonction exponentielle à l'égalité.
Question 2
On donne la série statistique suivante
| $x$ | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
| $\ln y$ | 3,20 | 3,22 | 3,33 | 3,48 | 3,73 |
Donner la relation liant $x$ et $y$.
$\ln y = 8.89 \times 10^{-2} x + 3.06$
En effet, la régression linéaire à l'aide de la calculatrice entre $x$ et $\ln y$ donne $\ln y = 8.89 \times 10^{-2} x + 3.06$
$y = 0.0889x + 3.06$
$y = 21.3e^{0.0889x}$
En effet, la régression linéaire à l'aide de la calculatrice entre $x$ et $\ln y$ donne $\ln y = 8.89 \times 10^{-2} x + 3.06$
En appliquant la fonction exponentielle on obtient $y = e^{8.89 \times 10^{-2} x + 3.06} = e^{3.06}\times e^{8.89 \times 10^{-2} x} = 21.3e^{0.0889x}$
On utiliser la calculatrice pour réaliser une régression linéaire.
Question 3
On donne la série statistique suivante
| $X$ | 4 | 12 | 17 | 22 |
| $Y$ | 0,18 | 10 | 125 | 1500 |
Donner le coefficient de corrélation linéaire de $X$ et $Y$.
$r = 1$
Il s'agit ici du coefficient de corrélation entre $X$ et $\ln Y$
$r = 0.760$
En effet d'après la calculatrice, le coefficient de corrélation vaut $r = 0.760$.
D'après la trajectoire des points, il semblerait plus pertinent de réaliser une corrélation linéaire entre $X$ et $\ln Y$
$r = 0.502$
On fera une régression linéaire entre $X$ et $Y$ à l'aide de la calculatrice.
Question 4
On donne la série statistique suivante
| $X$ | 2 | 9 | 16 | 25 | 27 |
| $Y$ | 0,18 | 10 | 120 | 1450 | 5300 |
Que vaut $Y$ si $X = 22$ ?
$y = 2393$
$y = 6.63$
$y = 761$
En effet, on commence tout d'abord par calculer $\ln Y$
| $X$ | 2 | 9 | 16 | 25 | 27 |
| $Y$ | 0,18 | 10 | 120 | 1450 | 5300 |
| $\ln Y$ | -1,71 | 2,30 | 4,79 | 7,28 | 8,58 |
On effectue ensuite une régression linéaire entre $X$ et $\ln Y$.
On trouve alors d'après la calculatrice que $\ln Y = 0.385X - 1.836$ c'est à dire $Y = e^{0.385X - 1.836}$. On trouve un coefficient de corrélation $r = 1$. On peut donc approximer la série statistique par une fonction exponentielle.
Finalement, lorsque $X = 22$ on a $Y = e^{0.385\times 22 - 1.836} \approx 761$
On réalisera une regression linéaire entre $X$ et $\ln Y$ à l'aide de la calculatrice.
Question 5
On donne la série statistique suivante
| $X$ | 4 | 12 | 17 | 22 |
| $Y$ | 0,18 | 10 | 125 | 1500 |
Donner le coefficient de corrélation linéaire de $X$ et $\ln Y$.
$r = 1$
On commence par calculer $\ln Y$
| $X$ | 4 | 12 | 17 | 22 |
| $Y$ | 0,18 | 10 | 125 | 1500 |
| $\ln Y$ | - 1,71 | 2,30 | 4,83 | 7,31 |
La valeur de $r$ pour la régression linéaire entre $X$ et $\ln Y$ laisse à penser que les données ont été choisies afin de correspondre parfaitement à une forme exponentielle...
$r = 0.760$
$r = 0.936$
On commencera par calculer $\ln Y$
En effet, $z = 0.2x + 3 $
$\iff \ln y = 0.2 x + 3 $
$\iff y = e^{0.2x + 3}$
$ \iff y = e^3 \times e^{0.2x} $
$ \iff y \approx 20e^{0.2x}$ car $e^3 \approx 20$