Fiche de cours
Formules de la loi binomiale
On considère une expérience suivant un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ expériences de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$, la probabilité du succès.
La variable aléatoire associée est $X$ et compte le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.
On notera alors que $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n; p)$.
De plus, $X$ est compris entre 0 et $n$.
Calculs de probabilités
La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès vaut :
$P(X = k) = \left ( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right ) p^k \ (1 - p)^{n - k}$.
Espérance, écart-type
L'espérance d'une loi binomiale est $E(X) = n \times p$ et son écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.
Exemple :
On lance un dé quatre fois. On cherche la probabilité d'obtenir trois fois le nombre 6.
On répète donc quatre fois de manière indépendante l'expérience de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac{1}{6}$.
En effet, lors