L'énoncé
- Répondre aux questions suivantes
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Question 1
On suppose qu X est une variable aléatoire de loi de densité $f(x) = \cos(x)$ sur $\left [ 0; \dfrac{\pi}{2} \right ]$. Que vaut $F(x)$ ?
$-\sin(x)$
$\sin(x)$
1
Question 2
On suppose qu X est une variable aléatoire de loi de densité $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ sur $[ 0; +\infty[$. Que vaut $F(x)$ ?
$1 - e^{-\lambda x}$
En effet, soit $x \in \mathbb{R}_+$,
$F(x) = \displaystyle \int_0^x \lambda e^{-\lambda t} dt = \big [-e^{-\lambda t} \big ]_0^x = -e^{\lambda x} - (-e^{\lambda \times 0}) = 1 - e^{\lambda x}$
$1 - e^{-\lambda t}$
Attention la variable est $x$ pour la fonction de répartition
$- e^{-\lambda x}$
On trouvera une primitive de $\cos(t)$.
On pourra reconnaitre une loi exponentielle.
Question 3
Soient $a$ et $b$ deux réels,
On suppose qu X est une variable aléatoire de loi de densité $f(x) = \dfrac{1}{b-a}$ sur $[ a; b]$. Que vaut $F(x)$ ?
On ne peut pas savoir
$\dfrac{x-b}{b-a}$
$\dfrac{x-a}{b-a}$
En effet, soit $x \in [a; b]$,
$F(x) = \displaystyle \int_a^x \dfrac{1}{b-a} dt = \left [ \dfrac{t}{b-a} \right ]_a^x = \dfrac{x - a}{b-a}$
On pourra reconnaitre une loi uniforme.
Question 4
On suppose que X est une variable aléatoire de loi de densité $f(x) = \dfrac{x^2}{9}$ sur $[0; 3]$. Que vaut $F(x)$ ?
$\dfrac{x^3}{27}$
En effet, soit $x \in \mathbb{R}$,
$F(x) = \displaystyle \int_0^x \dfrac{t^2}{9} dt = \left [ \dfrac{t^3}{27} \right ]_0^x = \dfrac{x^3}{27}$
$\dfrac{x^3}{9}$
$\dfrac{x^3}{27} - 1$
On calculer une primitive de $\dfrac{x^2}{9}$
Question 5
Peut-on calculer la fonction de réparation de la variable aléatoire $X$ ayant comme loi de densité la fonction $f(x) = x$ sur $[0; 1]$ ?
Oui
Non
En effet la fonction n'est pas une loi de densité car $\displaystyle \int_0^1 x dx = \dfrac{1^2}{2} - 0 =\dfrac{1}{2} \neq 1$
On ne peut pas savoir
On pourra se demander si $f$ est une loi de densité.
En effet, $\displaystyle \int_0^x \cos(t) dt = \big[\sin(t)\big]_0^x = \sin(x) - \sin(0) = \sin(x)$