L'énoncé
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Question 1
Comment définit-on la fonction de répartition de la variable $X$ sur $[a; b]$ ?
$F(x) = P(X \leq x)$
$F(x) = P(X \geq x)$
$f(x) = P(X \leq x)$
$f$ est la loi de densité de la variable aléatoire $X$.
Question 2
A quoi correspond $f$ ?
A une fonction quelconque
C'est une autre notation pour la variable aléatoire $X$.
C'est la loi de densité de $X$ sur $[a; b]$
C'est la bonne réponse !
Question 3
Que vaut aussi $P(X \leq x)$ ?
$P(b \leq X \leq x)$
$P(a \leq X \leq x)$
En effet, $X$ prend des valeurs dans l'intervalle $[a; b]$ et est donc toujours supérieure à $a$.
$P(0 \leq X \leq x)$
Question 4
A quoi correspond une probabilité dans le cadre des lois à densité ?
A une dérivée
A une ellipse
A une intégrale
En effet $P(a < X \leq x) = \displaystyle \int_a^x f(t) dt$
Question 5
Que vaut $P(a < X \leq x)$ ?
$ \displaystyle \int_a^x F(t) dt$
$\displaystyle \int_a^x f(t) dt$
C'est la bonne réponse !
$\displaystyle \int_a^x f(x) dx$
Attention, ici on utilise la même variable pour désigner la borne d'intégration et la variable d'intégration : ce n'est pas possible !
Question 6
Géométriquement, à quoi correspond $F(x)$ ?
A une longueur
A une aire
En effet, une intégrale correspond à une aire
A un volume
Question 7
$F(x)$ est donc l'aire entre
la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales en $a$ et $x$.
C'est la bonne réponse !
la courbe de $F$, l'axe des abscisses et les droites verticales en $a$ et $x$.
la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales en $a$ et $b$.
Question 8
Pourquoi ne peut-on pas écrire $F(x) = \int_a^x f(x) dx$ ?
On peut tout à fait l'écrire !
Car $f$ n'existe pas
Car la variable à la borne est la même que la variable d'intégration
En effet la variable d'intégration, bien que muette, ne peut pas avoir le même nom que la variable de la fonction de répartition.
Ainsi, on peut écrire $F(x) = \int_a^x f(t) dt = \int_a^x f(u) du = \int_a^x f(y) dy$
Question 9
A quoi peut-on assimiler le calcul de la fonction de répartition ?
A un calcul de primitive
En effet, cela revient à trouver une primitive de $f$.
A un calcul de dérivée
A un calcul impossible à faire.
Question 10
Que vaut $F(x)$ si $f(t) = \dfrac{1}{2}x$ sur $[0; 2]$ ?
$F(x) = \dfrac{x^2}{2}$
$F(x) = \dfrac{x^2}{4}$
C'est la bonne réponse ! On pourra revoir l'exemple de la vidéo au besoin.
$F(x) = \dfrac{x^2-a^2}{4}$
C'est la bonne définition.