L'énoncé
Résoudre les équations suivantes en précisant l'ensemble de définition dans chaque cas.
Question 1
Quel est l'ensemble de définition de la fonction \(f(x) = \ln (5-x)\) ?
La fonction logarithme népérien est définie pour tout réel strictement positif. \(f(x) = \ln (5-x)\) est donc définie lorsque \(5-x > 0\), soit \(x < 5\).
Conclusion : \(D_f = ] -\infty ; 5 [\)
Rappelez vous que \(\ln(a)\) n’existe que si \(a>0\)
Cherchez donc le signe de \(5-x\) et déduisez en \(D_f\)
Question 2
Quel est l'ensemble de définition de la fonction \(g(x) = ln(x^2)\) ?
\(g\) est définie pour tout \(x\) tel que \(x^2 > 0\).
Or le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, seule la valeur \(x=0\) est donc interdite.
Conclusion : \(D_g = \mathbb{R}^*\)
Rappelez vous que \(\ln(a)\) n’existe que si \(a>0\)
Que pouvez-vous dire de \(x^2\) ? Déduisez-en \(D_g\)
Question 3
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\ln (5x - 1) = \ln (x - 5)\).
On note \(D_1\) et \(D_2\) les ensembles de définitions de \(\ln (5x - 1) \) et \( \ln (x - 5)\).
\(D_1 = ] \dfrac{1}{5}; +\infty [\) et \(D_2 = ]5; +\infty [\)
D'après le cours : \(\ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b\)
Dans notre cas, nous devons donc résoudre \(5x - 1 = x - 5\).
\(5x - 1 = x - 5 \Leftrightarrow 4x=-4 \Leftrightarrow x=-1 \)
Cependant, l'équation fait intervenir des logarithmes, les solutions doivent se trouver dans les domaines de définition \(D_1\) et \(D_2\).
$-1 \notin D_1\cap{D_2}$
\(x = -1\) n'est pas solution de cette équation.
Conclusion : cette équation n'a aucune solution.
Cherchez les ensembles de définition des deux termes.
Rappelez vous : \(\ln(a) =\ ln(b)\) si et seulement si \(a=b\), \(a>0\) et \(b>0\)
La résolution d’équation de ce type est un acquis de 3ème. Procédez par équivalence.
Question 4
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\ln (2x+3)\geq 0\)
\(\ln (2x+3) \geq 0\).
Cette inéquation est définie sur \(D = \{x \in \mathbb{R} / 2x+3 >0\}\)
\(D = \{x \in \mathbb{R} / x > -\dfrac{3}{2}\}\)
\(D = ]-\dfrac{3}{2};+\infty[\)
Dans \(D\), on a :
\(\ln (2x+3) \geq 0\Leftrightarrow \ln (2x+3) \geq \ln(1)\)
\(\Leftrightarrow 2x + 3 \geq 1\) (Par croissance de la fonction logarithme)
\(\Leftrightarrow x \geq -1\)
On vérifie que cet intervalle est contenu dans $D$
Conclusion : \(S = [ -1 ; +\infty [\)
Chercher l’ensemble de définition de \(\ln(2x+3)\). Même si ce n’est pas demandé...
Pensez que \(\ln(1) =0\).
Rappelez vous : \(\ln(a) \geq \ln(b)\) si et seulement si \(a\geq b\), avec \(a\) et \(b\) strictement positifs. On cherche donc une inégalité de ce type.
Question 5
Résoudre \(\ln (x+1) + \ln (x+3) = \ln (x+7)\)
Cette équation est définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\) tels que :
\( x+1 > 0\), soit encore \(x > - 1\)
\( x+3 > 0\), soit \(x > - 3\)
\( x+7 > 0\), soit \(x > - 7\)
Ces trois conditions devant être vérifiées simultanément cela implique que \(D = ] -1 ; +\infty [\)
Dans cet intervalle,
\(\ln (x+1) + \ln (x+3) = \ln (x+7)\Leftrightarrow \ln ((x+1)(x+3)) = \ln (x+7)\) car \(\ln(a) + \ln(b) = \ln ( ab )\)
\( \Leftrightarrow \ln (x^2 + 4x + 3) = \ln (x+7)\)
\(\Leftrightarrow x^2 + 4x + 3 = x+7\) par bijectivité de \(\ln\)
\(\Leftrightarrow x^2 + 3x - 4 = 0\)
Ce polynôme a pour racines \(x = -4\) et \(x = 1\). (On calcule facilement le discriminant qui vaut 25)
Or, \(x = -4 \notin D\) donc seul \(x = 1\) est solution.
Conclusion : \(S = \{1\}\)
Chercher l’ensemble de définition de chaque terme séparé.
L’ensemble d’étude de la fonction sera l’intervalle qui représente l’intersection des trois intervalles trouvés précédemment.
Simplifier l’équation avec les formules du cours
Résolvez l’équation. Attention aux solutions trouvées ! sont-elles toutes dans l’ensemble d’étude de l’équation ?