Fiche de cours
La fonction logarithme népérien
Définition
La fonction logarithme népérien est la fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]0;+\infty[\) tel que
\(f(1)=0\) et \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\)
\(\ln\) est la primitive de \(x\mapsto\dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) qui s'annule en 1.
Propriétés algébriques
Pour tous réels $x>0$ et $y>0$ :
$\ln (xy)= \ln x+\ln y$
$\displaystyle \ln ( \displaystyle\frac{1}{x}) = -\ln x$
$\displaystyle \ln ( \displaystyle\frac{x}{y}) = \ln x-\ln y$
$\displaystyle \ln ( x^n) = n \ln x$ avec n $\epsilon$ $\mathbb{Z}$
Exemple :
Réduire : $A=\ln8-3\ln16$ et $B$= $\displaystyle \frac{4\ln9+5\ln27}{\ln3}$.
étape 1: On réécrit l'expression $A$ pour faire apparaître $\ln 2$.
$A=\ln 2^3-3\ln 2^4$
étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l'expression :
$\displaystyle \ln (x^n)=n\ln x$ avec $\displaystyle n \in \mathbb{Z}$.
$A=3\ln 2-12\ln 2$
$A=-9\ln 2$
étape 3: On réécrit l'expression $B$ pour faire apparaître $\ln 3$.
$B$= $\displaystyle \frac{4\ln 3^2+5\ln 3^3}{\ln 3}$
étape 4 :