Fiche de cours
Equations et inéquations
Propriétés
Pour tous réels $x$ et $y$, $\displaystyle e^x=e^y \iff x=y$.
Pour tout réel $x$ et pour tout réel $a$ strictement positif, $\displaystyle e^x=a \iff x=\ln a$.
Pour tous réels $x$ et $y$, $\displaystyle e^x \leqslant e^y \iff x \leqslant y$.
Pour tout réel $x$ et pour tout réel $a$ strictement positif, $\displaystyle e^x \leqslant a \iff
x \leqslant \ln a$.
Exemple
Résoudre : $3e^x-1=0$.
étape 1 : Soit $a$ un réel strictement positif. Si $e^x=a$, alors $x=\ln a$.
$\displaystyle 3e^x = 1$
$\displaystyle e^x = \frac{1}{3}$
$\displaystyle e^x = e^{\ln \frac{1}{3}} \iff x= \ln \frac{1}{3}$
étape 2 : On utilise $\ln (\frac{a}{b})=\ln a-\ln b$.
$\displaystyle x= \ln \frac{1}{3}$
$\displaystyle x= \ln 1- \ln 3$
$\displaystyle x= - \ln 3$
étape 3 : On conclut en donnant l'ensemble des solutions $S=\{-\ln 3\}.$
Autre exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\displaystyle 2e^{2x}-4e^x \leqslant 0$.
étape 1 : On factorise par $2e^x$ en utilisant $\displaystyle e^{2x }=(e^x)^2$.
$\displaystyle 2e^x (e^