L'énoncé
On se place dans un repère de l'espace et on donne : $A(1;4;0)$ ; $B(-2;2;4)$;$C( 3;3;-4)$ et $D(0;1;0)$
Question 1
Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont-ils colinéaires ?
On a: $A(1;4;0)$ ; $B(-2;2;4)$;$C( 3;3;-4)$ et $D(0;1;0)$ donc :
$\vec{AB}(-2-1;2-4;4-0)$ soit $\vec{AB}(-3;-2;4)$
$\vec{CD}(0-3;1-3;0-(-4))$ soit $\vec{CD}(-3;-2;4)$
Les deux vecteurs sont égaux donc ils sont colinéaires.
Calculer les coordonnées des deux vecteurs et conclure.
Question 2
Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $ABDC$ ?
Puisque $\vec{AB}=\vec{CD}$ alors $ABDC$ est un parallélogramme.
Deux vecteurs égaux forment un quadrilatère fort connu.
Question 3
Déterminer les coordonnées d'un point $E(x_E;0;z_E)$ pour que les points $A,B$ et $E$ soient alignés.
Pour que les points $A,B$ et $E$ soient alignés, il suffit que les vecteurs$\vec{AB}$ et $\vec{AE}$ soient colinéaires.
Calculons les coordonnées de $\vec{AE}$ avec $A(1;4;0)$ et $E(x_E;0;z_E)$
$\vec{AE}(x_E-1;-4;z_E)$
On sait aussi que $\vec{AB}(-3;-2;4)$
Pour que les vecteurs soient colinéaires, il faut qu'il y ait proportionnalité entre chaque coordonnées.
Le rapport des deuxièmes coordonnées impose $\vec{AE}=2\vec{AB}$
Ainsi, on en déduit que $x_E-1=2\times (-3)$ et $z_E=2\times 4$
Finalement : $E(-5;0;8)$
Les points $A,B$ et $E$ sont alignés lorsque des vecteurs sont colinéaires. Lesquels ?