Fiche de cours
Convergence des suites
Définitions
On dit qu'une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est majorée par $M$ si, et seulement si pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\leqslant M$.
On dit qu'une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est minorée par $m$ si, et seulement si pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\geqslant m$.
Théorème de la limite monotone
$\bullet$ Toute suite à valeurs réelles croissante et majorée par $M$ est convergente vers $\ell$ avec $\ell \leqslant M$.
$\bullet$ Toute suite à valeurs réelles décroissante et minorée par $m$ est convergente vers $\ell$ avec $\ell \geqslant m$.
Remarque : Le minorant (ou majorant) n'est pas nécessairement la limite de la suite!
Exemple :
On considère la suite $(u_n)$ définie par récurrence de la manière suivante :
$u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$
1) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leqslant 4$.
2) Démontrer que $(u_n)$ est une suite croissante.
3) La suite $(u_n)$ est-elle convergente?
Correction
1) On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété " $u_n\leqslant 4$ " et on va démontrer par récurrence que $\mathcal{P}(n)