Un apiculteur étudie l’évolution de sa population d’abeilles. Au début de son étude, il évalue à $10 000$ le nombre de ses abeilles. Chaque année, l’apiculteur observe qu’il perd $20$ % des abeilles de l’année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année.

On notera $c$ ce nombre exprimé en dizaines de milliers.

On note $u_0$ le nombre d’abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l’étude.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d’abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année.

Ainsi, on a $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8u_n +c$.

Partie A

On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$.

1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite ($u_n$).

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 5−4\times 0,8^n$ .

3. Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse. Interpréter ces deux résultats.

Partie B

L’apiculteur souhaite que le nombre d’abeilles tende vers $100 000$. On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d’atteindre cet objectif.

On définit la suite ($v_n$) par, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n −5c$.

1. Montrer que la suite ($v_n$) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

2. En déduire une expression du terme général de la suite ($v_n$)en fonction de $n$.

3. Déterminer la valeur de $c$ pour que l’apiculteur atteigne son objectif.