Fiche de cours
Comment montrer qu'une suite est géométrique ?
Afin de montrer qu'une suite $(u_n)$ est géométrique, on commence par calculer les premiers termes en s'assurant qu'ils ne sont pas nuls puis on calcule les rapports des premiers termes : $\dfrac{u_1}{u_0}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}$.
Considérons par exemple la suite $u_n = 4 \times 3^n$. On a alors $\dfrac{u_1}{u_0} = 3$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = 3$.
Si il apparait que le rapport des premiers termes est une constante $q$: on émet alors une conjecture en supposant que la constante ainsi trouvée est la raison de la suite.
Il faut alors montrer en revenant à la définition d'une suite géométrique que $u_{n + 1} = q \times u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
En revenant à notre exemple, on souhaite montrer que $u_{n + 1} = 3 u_n$.
Or :
$3 u_n = 3 \times ( 4 \times 3^n ) $
$3 u_n= 4 \times 3^{n + 1} $
$3 u_n= u_{n + 1}$.
Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 4 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4$.