Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d’une hauteur de 10 m. On mesure le niveau de l’eau chaque jour à midi.

Le 1er janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de 6,05 m. Entre deux mesures successives, le niveau d’eau du lac évolue de la façon suivante :

   • d’abord une augmentation de 6 % (apport de la rivière);

   • ensuite une baisse de 15 cm (écoulement à travers le barrage).

1. On modélise l’évolution du niveau d’eau du lac par une suite ($u_n$), $n \in \mathbb{N}$, le terme $u_n$ représentant le niveau d’eau du lac à midi, en cm, $n$ jours après le 1er janvier 2018.

Ainsi le niveau d’eau du lac, en cm, le 1er janvier 2018 est donné par $u_0 = 605$.

   a. Calculer le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi.

   b. Montrer que, pour tout n ∈ N, $u_{n+1} = 1,06u_n −15$.

2. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n = u_n −250$.

   a. Montrer que la suite ($v_n$) est géométrique de raison $1,06$. Préciser son terme initial.

   b. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 355\times 1,06^n +250$.

3. Lorsque le niveau du lac dépasse 10 m, l’équipe d’entretien doit agrandir l’ouverture des vannes du barrage.

   a. Déterminer la limite de la suite ($u_n$).

   b. L’équipe d’entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d’eau ? Justifier la réponse.

4. Afin de déterminer la première date d’intervention des techniciens, on souhaite utiliser l’algorithme incomplet ci-dessous.

   a. Recopier et compléter l’algorithme.

   b. À la fin de l’exécution de l’algorithme, que contient la variable $N$ ?

   c. En déduire la première date d’intervention des techniciens sur les vannes du barrage.