L'énoncé
On considère la suite $(u_n)$ vérifiant $\left\{\begin{array}{l}u_0 = 1 \\ u_{n+1} = 3u_n + 2\end{array}\right.$
Question 1
Calculer $u_1,u_2,u_3$ et conjecturer la limite de la suite.
On a :
$u_1 = 5$
$u_2 = 17$
$u_3 = 53$
Il semblerait que la suite tende vers l'infini.
Question 2
Résoudre l'équation $x = 3x +2$.
$x = 3x +2 \iff 2x + 2 = 0 \iff 2x = -2 \iff x = -1$
Question 3
Vérifier que la suite $v_n=u_n +1$ est géométrique et déterminer sa raison $q.$
La suite $(v_n) = (u_n +1)$ vérifie $\left\{\begin{array}{l}v_0 = 2 \\ v_{n+1} = 3u_{n+1} + 2 +1\end{array}\right.$
Soit encore $v_{n+1} = 3 (3 u_n +2) +2 +1 = 9u_n + 9 = 9(u_n +1) = 9 v_n$
Donc $v_{n+1} = 9v_n$, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $9.$
Question 4
Quelle est la limite de la suite $(v_n)$ ?
On en déduit que : $v_n= 2 \times 9^n$
$(v_n)$ tend donc vers l'infini.
Question 5
En déduire l'expression de la suite $(u_n)$ et sa limite.
Puisque $v_n=u_n +1 = 2 \times 9^n$ alors
$u_n = 2 \times 9^n -1$
Cette suite tend aussi vers l'infini ce qui confirme la conjecture précédente.