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Question 1
Quelle est la définition, pour une suite, de tendre vers l'infini ?
Une suite tend vers l'infini si elle n'est pas bornée.
Une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers l'infini lorsque $n$ tend vers l'infini si tout intervalle de la forme $\left[A;+\infty\right[$, avec $A \in \mathbb{R}$ contient tous les termes de la suite $u_n$ à partir d'un certain rang.
Une suite tend vers l'infini si elle n'a pas de limite.
Une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers l'infini si tous ses termes sont contenus dans un intervalle $\left[A;+\infty\right[$ pour un $A \in \mathbb{R}$ donné.
Une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers l'infini lorsque $n$ tend vers l'infini si tout intervalle de la forme $\left[A;+\infty\right[$, avec $A \in \mathbb{R}$ contient tous les termes de la suite $u_n$ à partir d'un certain rang.
Question 2
La suite $u_n = n^2 + 2n +5$ tend-elle vers l'infini ?
Oui
Non
Cette suite converge.
Cette suite n'a pas de limite.
Oui. C'est une somme de termes dont deux tendent vers $+\infty$.
Question 3
Quelle est la définition pour une suite $u_n$ de tendre vers $-\infty$ ?
Une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers $-\infty$ lorsque $n$ tend vers l'infini si tout intervalle de la forme $\left]-\infty;+B\right[$, avec $B \in \mathbb{R}$ contient tous les termes de la suite $u_n$ à partir d'un certain rang.
Une suite tend vers $-\infty$ si elle n'est pas bornée.
Une suite tend vers $-\infty$ si elle ne converge pas.
Une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers $-\infty$ lorsque $n$ tend vers l'infini si il existe un intervalle de la forme $\left]B;-\infty\right[$, avec $B \in \mathbb{R}$ contient tous les termes de la suite $u_n$ à partir d'un certain rang.
Une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers $-\infty$ lorsque $n$ tend vers l'infini si tout intervalle de la forme $\left]-\infty;+B\right[$, avec $B \in \mathbb{R}$ contient tous les termes de la suite $u_n$ à partir d'un certain rang.
Question 4
Que peut-on dire de la suite $(-u_n)$ lorsque la suite $(u_n)$ tend vers l'infini ?
On ne peut rien dire de la suite $(-u_n)$
La suite $(-u_n)$ tend vers 0.
Sous ces conditions, $(-u_n)$ tend vers $-\infty$.
La suite $(-u_n)$ tend aussi vers $\infty$.
Question 5
Soit $f$ une fonction tendant vers $+\infty$ au voisinage de $+\infty$.
Soit $n$ un entier. Que peut-on dire de la limite de la suite $f(n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini?
La suite $f(n)$ tend vers $+\infty$.
La suite $f(n)$ n'a pas de limite.
La suite $f(n)$ tend elle aussi vers $+\infty$. Ses termes sont composés des images des entiers par $f$.
Question 6
La suite $u_n = (-1)^n \times n$ tend-elle vers l'infini ?
Non
Oui
Non. En effet, si l'on prend $A>0$ alors il n'existe pas de rang $n_0$ tel que $\forall n \ge n_0, u_n \ge A$.
Supposons par l'absurde qu'un tel rang $n_0$ existe. Alors $\forall n \ge n_0, (-1)^n \times n \ge A$. Or, pour $n$ impair, on a $A<(-1)^n \times n < 0$ et $A>0$ ce qui est impossible.
Donc d'après le principe de raisonnement par l'absurde, la suite $u_n$ en tend pas vers l'infini.
Question 7
Une suite bornée peut-elle tendre vers l'infini ?
Pour rappel, une suite $u_n$ est bornée si $\exists M >0$ tel que $\forall n \in \mathbb{N},|u_n| <M$
Oui
Non
Non, si tel était le cas alors pour l'intervalle $\left[M,+\infty \right[$ on aurait $|u_n| <M$ et $u_n \ge M$
Question 8
Quel est le comportement de la suite $u_n = \dfrac{1}{n}$ au voisinage de l'infini ?
Cette suite converge.
Cette suite tend vers l'infini.
Cette suite n'a pas de limite.
Cette suite tend vers $0$.
Question 9
Quel est le comportement de la suite $u_n = n^2$ au voisinage de l'infini ?
Cette suite tend vers l'infini.
Cette suite converge.
Cette suite n'a pas de limite.
Cette suite tend vers l'infini.
Question 10
Quel est le comportement de la suite $u_n = (-n)^n$ au voisinage de l'infini ?
Cette suite converge.
Cette suite tend vers l'infini.
Cette suite n'a pas de limite.
Cette suite n'a pas de limite. En effet, elle n'est pas bornée et change de signe selon la parité de $n$.