L'énoncé
Un jeu consiste à tirer une carte dans un paquet de 32 cartes.
Un joueur mise 1€ par tirage.
Si la carte est le 10 de pique, le joueur gagne 10€.
Si la carte est un 10, il gagne 4€.
Si la carte est un pique, il gagne 1€.
Dans les autres cas, le joueur ne gagne rien. On appelle $X$ la variable aléatoire associée au gain du joueur.
Tu as obtenu le score de
Question 1
Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
On rappelle que le jeu consiste à tirer une carte dans un paquet de 32 cartes.
{7,8,9,10,J,D,R,A}
{0,1,4,10}
{-1,0,3,9}
Le joueur ayant misé 1, s'il ne gagne pas son gain est à -1.
De même, s'il tire la bonne carte, son gain final n'est que de 9.
Question 2
Quelle est la loi de probabilité de $X$ ?
Le jeu consiste à tirer une carte dans un paquet de 32 cartes.
Un joueur mise 1€ par tirage.
Si la carte est le 10 de pique, le joueur gagne 10€.
Si la carte est un 10, il gagne 4€.
Si la carte est un pique, il gagne 1€.
Dans les autres cas, le joueur ne gagne rien. On appelle $X$ la variable aléatoire associée au gain du joueur.
$P(x=9)=\dfrac{1}{32}$ ; $P(x=3)=\dfrac{4}{32}$ ; $P(x=0)=\dfrac{8}{32}$ ; $P(x=-1)=\dfrac{20}{32}$
$P(x=10)=\dfrac{1}{32}$ ; $P(x=4)=\dfrac{4}{32}$ ; $P(x=1)=\dfrac{8}{32}$ ; $P(x=0)=\dfrac{20}{32}$
$P(x=9)=\dfrac{1}{32}$ ; $P(x=3)=\dfrac{3}{32}$ ; $P(x=0)=\dfrac{7}{32}$ ; $P(x=-1)=\dfrac{21}{32}$
$P(x=10)=\dfrac{1}{32}$ ; $P(x=4)=\dfrac{3}{32}$ ; $P(x=1)=\dfrac{7}{32}$ ; $P(x=0)=\dfrac{21}{32}$
La carte est tirée aléatoirement :
- il y a 1 chance sur 32 de tirer le 10 de pique,
- 4 chances sur 32 de tirer un 10, mais seulement 3 chances sur 32 de tirer un 10 qui n'est pas un 10 de pique (sinon le joueur gagne déjà 9€),
- 8 chances sur 32 de tirer un pique, mais seulement 7 chances sur 32 de tirer un pique qui n'est pas le 10 de pique (sinon le jouer gagne déjà 9€),
- 21 chances sur 32 de ne pas gagner (32 cartes - 8 piques - 3 10 (le dernier 10 est déjà compté dans les piques)).
Donc la loi de probabilité :
$P(x=9)=\dfrac{1}{32}$
$P(x=3)=\dfrac{3}{32}$
$P(x=0)=\dfrac{7}{32}$
$P(x=-1)=\dfrac{21}{32}$
Question 3
Quelle est l'espérance de ce jeu ?
Le jeu consiste à tirer une carte dans un paquet de 32 cartes.
Un joueur mise 1€ par tirage.
Si la carte est le 10 de pique, le joueur gagne 10€.
Si la carte est un 10, il gagne 4€.
Si la carte est un pique, il gagne 1€.
Dans les autres cas, le joueur ne gagne rien. On appelle $X$ la variable aléatoire associée au gain du joueur.
$E(X)=\dfrac{1}{32}$
$E(X)=\dfrac{17}{16}$
$E(X)=\dfrac{-3}{32}$
$E(X)=0$
$E(X)=9\times \dfrac{1}{32}+3\times\dfrac{3}{32}+0\times\dfrac{7}{32}-1\times\dfrac{21}{32}=\dfrac{-3}{32}$
Question 4
Que peut-on dire sur l'équilibre du jeu ?
Le jeu est équilibré.
Le jeu est favorable au joueur.
Le jeu est défavorable au joueur.
L'espérance renseigne sur l'équilibre d'une expérience aléatoire. Si l'espérance est nulle, le jeu est équilibré.
Ici, $E(X)<0$. Le gain moyen est inférieur à 0, le jeu n'est pas favorable au joueur.
Question 5
Calculez la variance et l'écart-type de $X.$
Le jeu consiste à tirer une carte dans un paquet de 32 cartes.
Un joueur mise 1€ par tirage.
Si la carte est le 10 de pique, le joueur gagne 10€.
Si la carte est un 10, il gagne 4€.
Si la carte est un pique, il gagne 1€.
Dans les autres cas, le joueur ne gagne rien. On appelle $X$ la variable aléatoire associée au gain du joueur.
$V(X)=\dfrac{9}{25}$ et $\sigma (X)=\dfrac{3}{5}$
$V(X)=\dfrac{16}{32}$ et $\sigma (X)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$V(x)=\dfrac{4119}{1024}$ et $\sigma (X)=\sqrt{\dfrac{4119}{1024}}$
On sait que $V(X)=\sum p_i(x_i-E(X))^2$
Donc $V(X)=\dfrac{1}{32}(9+\dfrac{3}{32})^2+\dfrac{3}{32}(3+\dfrac{3}{32})^2+\dfrac{7}{32}(0+\dfrac{3}{32})^2+\dfrac{21}{32}(-1+\dfrac{3}{32})^2=\dfrac{4119}{1024}$
Et l'écart-type :
$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\dfrac{4119}{1024}}\approx 2$