Équation cartésienne d'un plan

Equation cartésienne d'un plan

Définition

Soient $a,b,c$ et $d$ quatre réels avec $a,b$ et $c$ tous nuls.

$\mathcal{P} :ax+by+cz+d=0$ est l'équation cartésienne d'un plan de l'espace.

Propriété

Tout plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ admet un vecteur normal non nul $\overrightarrow{n}(a;b;c)$.

La réciproque est vraie.

Exemples

1) Déterminer l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(4;0;-1)$ et normal à $\overrightarrow{n}(2;-1;3)$.

2) Soit $\mathcal{P}: 2x-4y+6z-9=0$.

Déterminer un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathcal{P}$ et un point $A$ du plan

Correction

• 1) Etape 1 : On définit l'équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{n}$.

On a: $\mathcal{P} : 2x-y+3z+d=0$.

• Etape 2 : On sait que $A \in \mathcal{P} $, on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées du point $A$ appartenant au plan.

$2(4)-0+3(-1)+d=0$