L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
Question 1
Démontrer la propriété : Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Soit $f$ une fonction admettant deux primitives $F$ et $G$ sur un intervalle $I$,
On pose pour tout $x \in I$ $H(x) = F(x) - G(x)$.
$H$ est dérivable sur $I$ en tant que différence de fonction dérivable.
$H'(x) = (F(x) - G(x))'= F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$.
Ainsi, $H$ est une fonction constante sur $I$ car sa dérivée sur $I$ est nulle.
Il existe donc un réel $k$ tel que $H(x) = k$ pour tout $x \in I$.
Ainsi, $F(x) - G(x) = k$ pour tout $x \in I$.
Donc, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
On pourra se référer au cours si besoin.
Question 2
Soient $x_0$ et $y_0$ deux réels données. Déduire de la question précédente qu'il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0) = y_0$.
On sait que le fonction $f$ admet des primitives sur $I$.
Ces dernières s'écrivent sous la forme $F(x) + k$ pour tout $x \in I$ et $k$ un réel.
Ainsi, $G(x) = F(x) + k$ pour tout $x \in I$.
La condition $G(x_0) = y_0$ s'écrit : $F(x_0) + k = y_0$ soit encore $k = y_0 - F(x_0)$.
Ainsi, il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0) = y_0$ : $G(x) = F(x) - F(x_0) + y_0$.
On se servira de la propriété précédemment démontrée et de la condition imposée sur $G$.
Question 3
Montrer que $F(x) = x \ln(x) - x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ est une primitive de $f(x) = \ln(x)$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$.
Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$,
$F$ est une fonction dérivable sur cet intervalle en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
En outre, $F'(x) = 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x) = f(x)$.
Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
Revenir à la définition d'une primitive.
Question 4
En déduire l'ensemble des primitives de $f(x) = \ln(x)$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
On sait que si une fonction $f$ admet une primitive $F$ sur un intervalle $I$, alors toutes ses primitives sont de la forme $F + k$ avec $k \in \mathbb{R}$.
Ainsi, l'ensemble des primitives de $\ln(x)$ sur $\mathbb{R}_+^*$ sont $x\ln(x) - x + k$ avec $k \in \mathbb{R}$.
On utilisera la propriété du cours
Question 5
Combien existe-t-il de primitives de $f$ telles que $G(2) = 0$ ? Les donner.
On sait que l'ensemble des primitives de $\ln(x)$ s'écrit $x\ln(x) - x + k$. On a montré précédemment qu'il existe une unique primitive $G$ telle que
$G(x_0) = y_0$ avec $x_0$ et $y_0$ deux réels données.
On doit donc chercher la valeur de $k$ tel que $G(2) = 0$.
$\iff 2\ln(2) - 2 + k = 0 \iff k = 2 - 2 \ln(2)$.
Ainsi, la primitive de $\ln(x)$ telle que $G(2) = 0$ est $G(x) = x\ln(x) - x + 2 - 2 \ln(2)$.
On utilisera la propriété d'unicité d'une primitive possédant une condition initiale.