L'énoncé
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0 ; 3[\) par \[f(x) = ln\left( \frac{3+x}{3-x} \right)\]
Question 1
Calculer sur \(]0 ; 3[\) la dérivée de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \ln\left( \dfrac{3+x}{3-x} \right)\)
\(f(x) = \ln(u(x)) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\) avec \(u(x) = \dfrac{3+x}{3-x}\)
Et : \(u'(x) = \dfrac{1 \times (3-x)-(-1) \times (3+x)}{(3-x)^2} \)
\(u'(x)= \dfrac{3-x+3+x}{(3-x)^2} \)
\(u'(x)= \dfrac{6}{(3-x)^2}\)
Ainsi :
\(f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{\dfrac{6}{(3-x)^2}}{\dfrac{3+x}{3-x}} \)
\(f'(x)= \dfrac{6}{(3-x)^2} \times \dfrac{3-x}{3+x} \)
\(f'(x)= \dfrac{6}{(3-x)(3+x)}\)
Il s’agit ici d’une fonction composée. Revoir les dérivées de \(\ln(u)\) et de \(\dfrac{u}{v}\).
Une simplification apparait lors du calcul. Ne l’oubliez pas !
Question 2
Déterminer toutes les primitives de la fonction \(h\) définie par : \(h(x) = \dfrac{4x}{(3x^2+2)^3}\)
\(h(x) = \dfrac{4x}{(3x^2+2)^3} \)
\(h(x)= \dfrac{4}{6} \times \dfrac{6x}{(3x^2+2)^3} \)
\(h(x)= \dfrac{2}{3}\times \dfrac{u'(x)}{u(x)^3} \)
\(h(x)= \dfrac{2}{3}u'(x)u(x)^{-3}\) avec \(u(x) = 3x^2+2\) et \(n=-3 \Rightarrow n+1=-2\).
Les primitives de \(h\) sont donc de la forme :
\(H(x) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{u(x)^{-2}}{-2}+K\)
\(H(x)= -\dfrac{1}{3u(x)^2}+K \)
\(H(x)= -\dfrac{1}{3(3x^2+2)^2}+K\) avec \(K\) réel.
Faites apparaitre à une constante près (\(k\) à déterminer) une expression de la forme \(\frac{k \times u'}{u^3}\). Vous pourrez, par commodité l’écrire alors sous la forme \(k \times u' \times u^{-3}\). Vous trouverez alors les primitives.
Question 3
Déterminer la primitive \(H\) de \(h\) qui s'annule en 10.
\(H(10)=0 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{3(3\times 10^2+2)^2}+K = 0 \)
\(\Leftrightarrow K = \dfrac{1}{3\times 302^2} = \dfrac{1}{273612}\)
Ainsi :
\(H(x) = -\dfrac{1}{3(3x^2+2)^2}+\dfrac{1}{273612}\)
\(H(10)=0\).
Question 4
Déterminer sur \(\mathbb{R}\) une primitive \( F\) de la fonction \(f\) suivante qui réponde aux conditions posées :
\(f(x) = \dfrac{x+0.5}{x^2+x+1}\) et \(F(1) = 0\)
On vérifie que $x^2+x+1$ est positif et ne s'annule pas : son discriminant est négatif
On a : \(f(x) = \dfrac{0.5\times (2x+1)}{x^2+x+1}\)
\(f\) est de la forme \(0.5 \times \dfrac{u'}{u}\) donc
\(F(x) =0.5 \times \ln(x^2+x+1) +K\) avec \(K\) réel.
(On vérifie que \(x^2+x+1>0\) pour tout réel).
\(F(1) = 0\) équivaut à \(0.5 \times \ln(3) + K = 0\) donc
\(K = -\dfrac{1}{2} \ln(3)=-\ln(\sqrt{3})\)
Ainsi \(F(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+x+1)-\ln(\sqrt{3})\)
Pensez à la forme \(\dfrac{u'}{u}\). Vous devrez modifier l’expression à l’aide d’une constante.
Le dénominateur \(u\) ne peut être modifié. Faites apparaitre de force \(u’\) au numérateur.
\(u(x) = x^2+x+1\) donc \(u’(x) =\) ???