L'énoncé
Cocher la bonne réponse
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Question 1
On considère 3 suites vérifiant (cocher la bonne case parmi les 3 ci-dessous) et $l$ un réel.
Si $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}w_n=l$
Alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=l$
$v_n\leq u_n\leq w_n$
$u_n\leq v_n\leq w_n$
$v_n\leq w_n\leq u_n$
Question 2
Proposer un encadrement de $v_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ avec $n$ entier non nul.
$0\leq v_n\leq 1$
$-1\leq v_n\leq 0$
$-1\leq v_n\leq 1$
$\dfrac{-1}{n}\leq v_n\leq \dfrac{1}{n}$
En effet $-1\leq (-1)^n \leq 1$
Question 3
Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}$ sachant que $\dfrac{-1}{n}\leq \dfrac{(-1)^n}{n}\leq \dfrac{1}{n}$
$1$
$-\infty$
$+\infty$
$0$
En effet, on utilise le théorème des gendarmes en remarquant que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{-1}{n}=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0$
Question 4
Proposer un encadrement de $v_n=\dfrac{\cos(n)}{n^2+1}$ avec $n$ entier .
$\dfrac{-1}{n^2+1}\leq \dfrac{\cos(n)}{n^2+1}\leq \dfrac{1}{n^2+1}$
En effet $-1\leq \cos(n) \leq 1$
$\dfrac{-1}{n^2+1}\geq \dfrac{\cos(n)}{n^2+1}\geq \dfrac{1}{n^2+1}$
$\dfrac{-1}{n^2+2}\leq \dfrac{\cos(n)}{n^2+1}\leq \dfrac{1}{n^2+2}$
Question 5
Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\cos(n)}{n^2+1}$ sachant que $\dfrac{-1}{n^2+1}\leq \dfrac{\cos(n)}{n^2+1}\leq \dfrac{1}{n^2+1}$
$-1$
$0$
En effet, on utilise le théorème des gendarmes en remarquant que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{-1}{n^2+1}=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^2+1}=0$
$1$
$+\infty$
$v_n$ doit être encadré par les deux autres termes