L'énoncé
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R^*}\) par : \( f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x^2}\)
Question 1
Démontrer que pour tout \(x\) non nul : \(\dfrac{-1}{x^2} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{x^2}\)
Pour tout \(x\) appartenant à \(\mathbb{R^*}\), \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\)
En divisant par $x^2$, un nombre strictement positif, on a donc:
\(\dfrac{-1}{x^2} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{x^2}\)
Avez-vous pensé à encadrer \(\sin(x)\) ?
\(-1 \leq \sin(x) \leq 1\)
Question 2
En déduire les limites de \(f\) au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty.\)
\( \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-1}{x^2} = 0\) et \( \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0\)
D'après le théorème des gendarmes, \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{-1}{x^2} = 0\) et \( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0\)
D'après le théorème des gendarmes, \( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0\)
La question débute par « en déduire » ! Il faut donc utiliser l’encadrement précédent.
Vers quoi tendent les expressions \( \dfrac{-1}{x^2}\) et \( \dfrac{1}{x^2}\) au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty.\) ?
Pour conclure, pensez au théorème des gendarmes
Besoin d’un rappel sur le théorème des gendarmes ? Allez voir la vidéos dans les prérequis.