L'énoncé
Dans tout cet exercice, on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = x \cos(x)\).
On note \(C_f\) sa courbe représentative.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si l’affirmation est vraie ou fausse en justifiant les réponses.
Question 1
La fonction \(f\) est \(2\pi-\) périodique.
On a : \(f(x+2\pi) = (x+2\pi)\cos(x+2\pi) = (x+2\pi)\cos(x)\)
et aussi \(f(x) = x\cos(x)\)
Il est clair que \(f(x+2\pi)\) n'est pas égal à \(f(x)\) : la proposition est FAUSSE.
Evidemment, il faut connaître par cœur la définition de « fonction périodique »… Elle se trouve dans le cours !
On a besoin d’exprimer \(f(x+2\pi)\).
Comparer les résultats de \(f(x + 2\pi)\) et de \(f(x)\) : obtient-on la même chose ?
Question 2
L'origine du repère est centre de symétrie pour la courbe \(C_f\).
Il faut savoir si \(f\) est impaire :
\(f(-x) = (-x)\cos(-x) =-x\cos(x)=-f(x)\)
On sait aussi que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) donc on en déduit que \(f\) est impaire et que l'origine du repère est centre de symétrie pour la courbe de \(f\).
La proposition est VRAIE.
Ici, il faut savoir que l’origine du repère est centre de symétrie lorsque la fonction est impaire : Comment montre-t-on alors qu’une fonction est impaire ?
On regarde si \(f(-x)\) est l’opposée de \(f(x)\) : écrire séparément ces deux expressions et les comparer…
\(\cos(-x)-\cos(x)\) (voir le cercle trigonométrique pour s’en convaincre).
Question 3
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \(f(x) \times f(-x) \leq 0\)
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $\cos(-x)=\cos(x)$
Ainsi :
\(f(x) \times f(-x) = x\cos(x) \times (-x)\cos(-x) = -(x\cos(x))^2\)
Alors pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \(f(x) \times f(-x) \leq 0\)
La proposition est VRAIE.
Il suffit de remplacer \(f(-x)\) et \(f(x)\) par leurs formules… Et essayer de regrouper les termes qui se ressemblent !
Question 4
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \(f(2x) = 4f(x)\)
On a : \(f(2x) = (2x)\cos(2x)\)
Ceci n'est pas égal à \(4f(x)\).
En effet, si on choisit par exemple la valeur \(x = \pi\), on a :
\(f(2\pi) = 2\pi \cos(2\pi)=2\pi\) et
\(f(\pi) = \pi \times \cos(\pi) = \pi \times (-1) = -\pi\)
Donc \(f(2\pi)\) n'est pas égal à \(4f(\pi)\).
La proposition est FAUSSE.
On a besoin de l'expression de \(f(2x)\).
Comparer les résultats de \(f(2x)\) et de \(4f(x)\): obtient-on la même chose ?
Attention ici, le plus simple pour bien justifier que les écritures obtenues pour \(f(2x)\) et \(4f(x)\) sont bien différentes est de choisir une valeur pour \(x\), et de faire le calcul… Ici le corrigé propose de choisir , et de comparer \(f(2\pi)\) et \(4f(\pi)\) (bien sûr, vous pouvez choisir d’autres valeurs).
Question 5
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a \(f'(x) = - x\sin(x)\)
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).
On a de plus grâce à la formule, évidemment à connaître :
\((u \times v)' = u'v + uv'\)
Ainsi : \(f'(x) = 1 \times \cos(x)+x \times (-\sin(x)) = \cos(x)-x\sin(x)\)
La proposition est FAUSSE.
Quelle est la structure de l’écriture \(f(x)\) : est-ce une somme, un produit, un quotient ? En fonction de la réponse à cette question, il faut trouver la formule du cours à appliquer…
Attention à ne pas vous tromper dans la formule sur \((u \times v)'\) : c’est \((u \times v)' = u'v + uv'\) (c’est bien un signe « plus » entre les deux !)
Question 6
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \(f(x) - xf'(x) = x^2\sin(x)\)
On utilise la dérivée de \(f\) :
\(f'(x) = \cos(x)-x\sin(x)\)
On calcule maintenant \(f(x) - xf'(x)\) :
\(f(x) - xf'(x) = x\cos(x)-x(\cos(x)-x\sin(x)) = x^2\sin(x)\)
La proposition est VRAIE
Pas de panique ici, il suffit de remplacer \(f(x)\) et \(f’(x)\) par leurs formules, et de voir si l’égalité proposée est correcte ou pas… À toi de faire le calcul !
Petit rappel : \(f'(x) = \cos(x)-x\sin(x)\)
Question 7
La tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(0\) a pour équation \(y = x\).
La tangente à \(C_f\) au point dabscisse \(0\) a pour équation : \(y = f'(0)(x-0)+f(0)\)
On a de plus : \(f(0)=0\) et \(f'(0) = \cos(0)-0=1\).
Donc on a :
\(y = f'(0)(x-0)+f(0)\)
\(y = 1 \times x + 0\)
\(y=x\)
La proposition est VRAIE.
Un grand classique évidemment : l’équation d’une tangente ! Formule à connaître par cœur, et sans erreur dans les signes… Voir la deuxième astuce en cas de doute !
La tangente au point d’abscisse \(a\) est donnée par : \(y = f'(a)(x-a)+f(a)\). Quelle est la valeur de \(a\) ici ?
On a besoin de \(f(0)\) et \(f’(0)\) : rappelons que \(\sin(0) = 0\) et \(\cos(0) = 1\).
Question 8
Sur \([0;+\infty[\) la courbe \(C_f\) est située au dessous de sa tangente au point d'abscisse $0$.
Il faut étudier le signe de \(f(x) - x\). On a :
\(f(x) - x = x\cos(x)-x\)
\(f(x) - x =x(\cos(x)-1)\) On sait déjà que : pour \(x \in \mathbb{R}\), \(\cos(x) \leq 1\).
Donc, pour \(x \in \mathbb{R},\; \cos(x)-1 \leq 0\).
Si on se place sur l'intervalle \([0;+\infty[\), on a de plus \(x \geq 0\),
Donc par produit on obtient que sur l'intervalle \([0;+\infty[\) on a : \(x(\cos(x)-1) \leq 0\)
Finalement, \(f(x) - x \leq 0\) pour tout \(x \in [0;+\infty[\), soit \(f(x) \leq x\)
Donc, sur \([0;+\infty[\), la courbe \(C_f\) est située au dessous de sa tangente au point d'abscisse $0$.
$C_f$ sera confondue avec cette tangente en tout point d'abscisse $2k\pi; \; k \in \mathbb{N}$
La proposition est VRAIE.
Encore un classique : quelle est la méthode pour étudier la position entre deux courbes ? On étudie le signe de la différence $f(x)-x$ (puisque l’équation de la tangente est \(y = x\)).
Pour faire l’étude du signe, il faut toujours penser à factoriser : on obtient \(x(\cos(x)-1)\) Et maintenant : le signe…
Pour \(\cos(x)-1\), un argument très simple et souvent utilisé est à connaître.
On a que, quelque soit la valeur de \(x\) dans \(\mathbb{R}\), \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\) en particulier, \(\cos(x) \leq 1\) et donc \(\cos(x)-1 \leq 0\). Vous pouvez maintenant finir l’étude du signe !
Question 9
On note \(g(x) = \cos(x)\)
Les courbes \(C_f\) et \(C_g\) se coupent en un unique point : le point d'abscisse $1$.
Il faut résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\) :
\(f(x) = g(x) \Leftrightarrow x\cos(x) = \cos(x)\)
\(\Leftrightarrow x\cos (x) - \cos (x) = 0\)
\(\Leftrightarrow \cos(x) \times (x-1) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} \cos (x) = 0 \\ x-1=0 \end {array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} x = \frac{\pi}{2}+k\pi; \; k\in \mathbb{N} \\ x = 1 \end{array}\right.\)
L'équation possède donc une infinité de solutions (et ces solutions sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes)
L'affirmation est FAUSSE.
Quelle équation faut-il résoudre pour trouver les points d’intersection des deux courbes ?
Ecrire \(f(x) = g(x)\), et commencer la résolution.
Attention lors de la résolution, à ne pas simplifier par \(\cos(x)\) : il faut absolument penser à utiliser une factorisation.
Une fois que vous avez les solutions, pour répondre à la question posée, il faut compter le nombre de solutions obtenues…