L'énoncé
On considère la suite \((u_n)\) de réels strictement positifs, définie par : \(u_0=2\), et pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\(\ln(u_{n+1}) = 1+\ln(u_n)\)
Question 1
Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) et préciser la nature de la suite \((u_n)\).
Puisque pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
\(\ln(u_{n+1}) = 1+\ln(u_n) = \ln(e)+\ln(u_n) = \ln(eu_n)\)
On en déduit par bijectivité de la fonction \(\ln\) que pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
\(u_{n+1}=eu_n\)
La suite \((u_n)\) est donc une suite géométrique de raison \(e\) et de premier terme \(u_0=2\)
\(\ln (e) = 1\). Cela peut vous être utile
\(\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)\). Avec \(a\) et \(b\) strictement positifs. C’est une propriété fondamentale de la fonction \(\ln\).
Vous rappelez-vous des suites arithmétiques et géométriques étudiées en 1ère ?
Question 2
Déterminer la monotonie de la suite \((u_n)\), et préciser sa limite.
Puisque la raison de cette suite est \(e>1\) et que \(u_0>0\), on en déduit que la suite \((u_n)\) est strictement croissante et que \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\)
Une suite est dite monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante. En général on étudie le signe de la différence entre deux termes, mais ici vu la nature de la suite, il y a plus rapide.
La monotonie d’une suite géométrique dépend de sa raison. Dans notre cas, la raison vaut \(e\).
\(e\) est un nombre supérieur à 1
Question 3
Exprimer la somme \(\displaystyle\sum^n_{k=0}u_k\) en fonction de \(n\).
Puisque la suite \((u_n)\) à est une suite géométrique de raison \(e\) et de premier terme \(u_0=2\), la somme \(\displaystyle\sum^n_{k=0}u_k\) vaut donc :
\(\displaystyle\sum^n_{k=0}u_k =u_0 \times \dfrac{1-e^{n+1}}{1-e} = 2 \times \dfrac{1-e^{n+1}}{1-e}\)
\(\displaystyle\sum^n_{k=0}u_k= \dfrac{2-2e^{n+1}}{1-e} \)
Connaissez-vous le symbole sigma ou le symbole somme ? Voir la vidéo de rappel via les pré-requis sinon.
Il s’agit d’une somme de termes d’une suite géométrique. Connaissez-vous la formule ? Voir la vidéo de rappel en cas d'oubli.
Comptez bien le nombre de termes.
Question 4
Exprimer la somme \(\displaystyle\sum^n_{k=1}\ln(u_k)\) en fonction de \(n\).
Puisque la suite \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(e\) et de premier terme \(u_0=2\), on établit que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n=u_0 \times e^n=2e^n\)
Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\ln(u_n) = \ln(2e^n) = \ln(2)+\ln(e^n) = \ln(2)+n\ln(e) = \ln 2+n\)
La somme \(\displaystyle\sum^n_{k=1}\ln(u_k)\) vaut donc :
\(\displaystyle\sum^n_{k=1}\ln(u_k) = \displaystyle\sum^n_{k=1} (\ln2+k)\)
\(\displaystyle\sum^n_{k=1}\ln(u_k) = \displaystyle\sum^n_{k=1} \ln 2 + \displaystyle\sum^n_{k=1} k\)
\(\displaystyle\sum^n_{k=1}\ln(u_k) = n\ln(2)+\dfrac{n(n+1)}{2}\)
\(\displaystyle\sum^n_{k=1}\ln(u_k) = \dfrac{n(n+1)+2n\ln2}{2}\)
Il faut utiliser ici la formule qui donne le terme d’une suite géométrique \(u_n\) en fonction de \(n\) : \(u_n = u_0 \times q^n \)
Cette question est délicate. Décomposez la somme en deux termes distincts.
Le premier terme est une somme d’un terme constant. On additionne donc \(n\) fois le même terme.
Le second terme est une somme bien connue. Essayez de faire le lien avec la somme des \(n\) termes d’une suite particulière.
Cette suite pourrait être arithmétique.
Question 5
En déduire le calcul de \(u_1 \times u_2 \times ... \times u_n\) en fonction de \(n\).
En utilisant les propriétés de la fonction logarithme népérien et la question précédente on a :
\(ln(u_1 \times u_2 \times ... \times u_n) = \displaystyle\sum^n_{k=1} \ln(u_k) = \dfrac{n(n+1)+2n\ln2}{2}\)
On déduit par bijectivité de \(\ln\) que :
\(u_1 \times u_2 \times ... \times u_n = e \dfrac{n(n+1)+2n\ln2}{2}\)
Calculer le logarithme népérien de ce produit.
Faites le lien avec la question précédente.
Si \(a=b\) alors \(\ln(a) = \ln(b)\). Cette propriété est vraie lorsque \(a\) et \(b\) sont strictement positifs par bijectivité de \(\ln\). Appliquez là à l’égalité de la question précédente.