L'énoncé
Avant de résoudre une équation ou simplifier une expression, il faut se poser la question de l'existence des expressions proposées. Rappel : La fonction $\ln$ n'est définie que sur \(]0;+\infty[\)
Question 1
Résoudre l'équation : \(\ln(x) = 0\) sur \(]0;+\infty[\)
\(\ln(x) = 0\) équivaut à :
\(\ln(x) = \ln(1)\)
Comme la fonction $\ln$ est croissante sur son ensemble de définition, on a donc :
\(x = 1\)
Connaissez-vous la fonction logarithme népérien ? Il est temps d’apprendre votre cours !
\(\ln(a)=\ln(b)\) avec $a$ et $b$ strictement positifs équivaut à \(a=b\)
Question 2
Résoudre l'équation : \(\ln(x) = 1\) sur \(]0;+\infty[\)
\(\ln(x) = 1\) équivaut à
\(\ln(x) =\ln(e)\)
Ainsi : \(x = e\)
\(\ln(a)=\ln(b)\) avec $a$ et $b$ strictement positifs équivaut à \(a=b\)
Question 3
Résoudre sur \(]0; +\infty[\) l'équation : \(\ln \left(\dfrac{1+x}{x}\right)= 3\)
On vérifie que $\dfrac{1+x}{x}$ est strictement positif sur \(]0; +\infty[\).
Ainsi :
\(\ln \left(\dfrac{1+x}{x}\right)= 3\)
$\Leftrightarrow \dfrac{1+x}{x}=e^3$
\(\Leftrightarrow 1+x= x \times e^3\)
$\Leftrightarrow x- x \times e^3=-1$
$\Leftrightarrow x(1- e^3)=-1$
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{e^3-1}\).
Ce nombre est bien un nombre strictement positif.
Pensez à utiliser la fonction exponentielle !
Question 4
Simplifier l'expression : \(\ln (e^2 \sqrt{e})\)
\(\ln (e^2 \sqrt{e})= \ln (e^{\frac{5}{2}})= \dfrac{5}{2} \ln(e)= \dfrac{5}{2}\)
\(\ln(e) = 1\)
Question 5
Simplifier l'expression : \(\ln (e^3) +\ln (e^{-2}) \)
\(\ln (e^3) +\ln (e^{-2}) = 3-2 = 1 \)
\(\ln(e) = 1\)
Question 6
Simplifier l'expression : \(\ln \left( \dfrac{8}{25} \right) \)
\(\ln \left( \dfrac{8}{25} \right) = \ln \left( \dfrac{2^3}{5^2} \right) = 3 \ln 2 - 2 \ln 5\)
Connaissez-vous les propriétés de la fonction $\ln$ ? Revoir la vidéo de cours dans les pré-requis.
Question 7
Résoudre l'équation : \( (\ln(x))^2 + 3 \ln(x) -4 = 0\) dans l'ensemble des réels strictement positifs.
Procédons à un changement de variable :
On pose : \(X = \ln (x)\)
On obtient alors : \( X^2 +3X-4 = 0\)
\( \Delta = 9 +4 \times 4 = 25>0\)
Les racines du trinôme sont :
\(X_1 = \dfrac{-3-5}{2} = -4\) et \(X_2 = \dfrac{-3+5}{2} = 1\)
On a posé : \(X_1 = \ln( x_1)\) et
\(\ln(x_1)=-4\Leftrightarrow\ln(x_1)=\ln(e^{-4})\)
Soit : \( x_1 = e^{-4}\)
Pour les mêmes raisons : \( x_2 = e\)
Les solutions de l'équation sont donc : $S=\{e^{-4};e\}$
Savez-vous effectuer un changement de variable ? Il y a une vidéo dans les prérequis sur cette méthode.