L'énoncé
Simplifier chacune des expressions proposées. La connaissance de la fonction exponentielle s'impose dans cet exercice.
Question 1
Simplifier \(e^5\times e^3\)
On sait que : \(e^{a+b} = e^a \times e^b\) pour tous réels $a$ et $b$
Donc \(e^5 \times e^3 = e^{5+3} = e^8\)
\(e^a \times e^b = e^{a+b}\) pour tous réels $a$ et $b$
Question 2
Simplifier : \((e^{-3})^2\times \dfrac{1}{e^{-4}}\)
On sait que \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\) pour tout réel $a$.
On sait aussi que \((e^a)^b = e^{ab}\) pour tous réels $a$ et $b$.
Ainsi :
\((e^{-3})^2\times \dfrac{1}{e^{-4}} = e^{-6}\times e^4 = e^{-6+4} = e^{-2}\)
\((e^a)^b = e^{ab}\) pour tous réels $a$ et $b$
\(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\) pour tout réel $a$
Question 3
Simplifier \(e^{2 \ln(2)}\)
D'après le cours sur les logarithmes, \(n \ln(a) = \ln(a^n)\) avec \(a > 0\) et \(n\) entier donc :
\(2 \ln(2) = \ln(2^2) = \ln(4)\)
D'après le cours sur la fonction exponentielle, \(e^{\ln(a)} = a\) avec \( a > 0 \).
Donc : \(e^{\ln(4)} = 4\)
Conclusion : \(e^{2\ln(2)} = 4\)
\(n \ln(a) = \ln(a^n)\) avec \(a > 0\) et \(n\) entier
\(e^{\ln(a)} = a\) avec \(a > 0\)
Question 4
Simplifier \(e^{-3\ln(2)}\)
D'après le cours sur la fonction exponentielle, \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\)
Donc : \(e^{-3\ln(2)} = \dfrac{1}{e^{3\ln(2)}}\)
D'après le cours sur les logarithmes, on a : \(3 \ln(2) = \ln(2^3) = \ln(8)\)
D'après le cours sur la fonction exponentielle, \(e^{\ln(a)} = a \) avec \(a > 0\).
Donc : \(e^{\ln(8)} = 8\)
Conclusion : \(e^{-3\ln(2)} = \dfrac{1}{8}\)
\(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\) avec \(a\) réel
Question 5
Simplifier \(e^{1 + \ln(3)}\)
D'après le cours sur la fonction exponentielle, \(e^{a+b} = e^a \times e^b\) pour tous réels \(a\) et \(b\).
Donc \(e^{1 + \ln(3)} = e^1\times e^{\ln(3)}\)
Ainsi : \(e^{1 + \ln(3)} = e\times 3\)
Conclusion : \(e^{1 + \ln(3)} = 3e\)
\(e^{a+b} = e^a \times e^b\) pour tous réels \(a\) et \(b\)