Exercice - Calculs élémentaires

Pour simplifier cette expression, on va utiliser les propriétés de la fonction logarithme.
D'après le cours :
\(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\) avec \(a\) et \(b\) strictement positifs.
\(\ln(a^n) = n \ln(a)\) et  \(\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)\)

On applique ces règles : \(\ln\left(\dfrac{72}{25}\right) = \ln(72) - \ln(25)\)

Or :
\(72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2\) et \(25 = 5^2\)
Donc : \(\ln\left(\dfrac{72}{25}\right) = \ln (2^3 \times 3^2) - \ln (5^2)\)

\(\ln\left(\dfrac{72}{25}\right) = \ln(2^3) + \ln (3^2) - \ln (5^2)\)

\(\ln\left(\dfrac{72}{25}\right) = 3\ln(2) + 2\ln(3) - 2\ln(5)\)

L'expression \(A\) est définie car \(\sqrt{2} < 1.5\) (se souvenir que \(\sqrt{2}\) « environ égal à » 1, 414 ).
Ainsi, \(-2\sqrt{2} + 3> 0\) soit \(\ln(-2\sqrt{2}+ 3\)) bien défini.
On a :
\(A = 2\ln(\sqrt{2}+ 1)+\ln( -2\sqrt{2}+ 3)\)

\(A = \ln(\sqrt{2}+ 1)^2 + \ln( -2\sqrt{2} + 3)\)

\(A = \ln( 2 + 2\sqrt{2}+ 1) + \ln( -2\sqrt{2}+ 3)\)

\(A = \ln( 3 + 2\sqrt{2}) + \ln(3-2\sqrt{2})\)

D'après le cours : \(\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)\) donc :
\(A = \ln \left((3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})\right)\)

On reconnaît \((a-b)(a+b)= a^2 -b^2\)

\(A = \ln (3^2 - (2\sqrt{2})^2)\) 

\(A = \ln (9 - 8)\) soit  \(A = \ln 1\) ou encore  \(A = 0\)

Il s'agit d'écrire l'expression avec le logarithme d'un nombre plus petit.
\(\ln(16) = \ln(2^4)\)

D'après le cours \(\ln(a^n) = n \ln(a)\) donc :
\(\ln(16) = 4 \ln(2)\)

On a : \(\ln (0,25) = \ln\left(\dfrac{1}{4}\right)\)

D'après le cours, \(\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = - \ln(a)\)
Ainsi : \(\ln(0,25) = - \ln(4) = - \ln(2^2) = - 2 \ln(2)\)