Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous la courbe d’équation : $y =\dfrac{1}{2}( e^x +e^{ −x} −2) $.

Cette courbe est appelée une « chaînette ». On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein. On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points $M$ et $M′$ comme indiqué sur le graphique.

Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point $M$ d’abscisse $x$ strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l’équation $(E) : e^x +e^{ −x} −4x −2 = 0$.

2. On note $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par : $f (x) =e^x +e^{ −x} −4x −2$.

   a. Vérifier que pour tout $x > 0, f (x) = x\left(\dfrac{e^x}{x}-4\right)+e ^{−x} −2$. 

   b. Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f (x)$.

3. a. On note $f ′$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . Calculer $f ′ (x)$, où $x$ appartient à l’intervalle $[0 ; +∞[$.

   b. Montrer que l’équation $f ′ (x) = 0$ équivaut à l’équation : $(e^x )^2 −4e^x −1 = 0$.

   c. En posant $X = e^x$ , montrer que l’équation $f ′ (x) = 0$ admet pour unique solution réelle le nombre $\ln(2+ \sqrt5 )$ .

4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée $f ′$ de $f$ :

  a. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .

  b. Démontrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution strictement positive que l’on notera $\alpha$.

5. On considère l’algorithme suivant où les variables $a, b$ et $m$ sont des nombres réels :

  a. Avant l’exécution de cet algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent respectivement les valeurs $2$ et $3$. Que contiennent-elles à la fin de l’exécution de l’algorithme ?

On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-contre avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme.

  b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme à la question précédente ?

6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l’allure ci-contre. Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.

La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l’équation : $ (E') :e^{(\frac{t}{39})} +e^{(-\frac{t}{39})} −4(\frac{t}{39}) −2 = 0$.

Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.