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Fiche de cours
Croissances comparées
Pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}$ :
1. $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ ; $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n}=+\infty$
2. $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} xe^x =0$ ; $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} x^ne^x =0$
A savoir aussi :
3. $ \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac {e^x-1}{x}=1$
Exercice 1
Calculer : $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3 -e^x$.
Corrigé
- étape 1 : On s'interroge sur la présence de formes indéterminées.
Il y en a une de la forme $\infty-\infty$. - étape 2 : On factorise par $e^x$ le numérateur et le dénominateur.
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} e^x(\frac{x^3}{e^x}-1)$ - étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.
On sait que $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^3} = +\infty$.
Donc $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3}{e^x} =\displaystyle \l
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