L'énoncé
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Question 1
Quel est le bon énoncé de la loi faible des grands nombres ?
Pour tout réel strictement positif $\delta$,
$\lim \limits_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geq\delta ) = 0$
Pour tout réel strictement positif $\delta$,
$\lim \limits_{n \to +\infty} P(M_n - \mu \geq\delta ) = 0$
Pour tout réel strictement positif $\delta$,
$P(|M_n - \mu| \geq\delta ) = 0$
Question 2
A quoi est équivalent $|M_n - \mu| \geq\delta$ ?
$M_n \in [\mu - \delta; \mu + \delta]$
$M_n \geq \mu + \delta$
$M_n \notin [\mu - \delta; \mu + \delta]$
En effet,
$|M_n - \mu| \geq\delta$
$ \iff \left \{ \begin{array}{l} M_n - \mu \geq \delta \\ -(M_n - \mu) \geq\delta \end{array} \right. $
$\iff \left \{ \begin{array}{l} M_n \geq \delta + \mu \\ M_n \leq \mu-\delta \end{array} \right.$
$ \iff M_n \notin [\mu - \delta; \mu + \delta]$
Question 3
Que vaut $\lim \limits_{n \to +\infty} P(|M_n \in [\mu - \delta; \mu + \delta])$ ?
0
1
En effet, on utilise pour le montrer le fait que $P(|M_n \in [\mu - \delta; \mu + \delta]) = 1 - P(|M_n \notin [\mu - \delta; \mu + \delta])$
On ne peut pas savoir
Question 4
Que signifie la loi faible des grands nombres ?
La probabilité que la moyenne d'un grand échantillon se rapproche de l'espérance de l'échantillon est grande.
En effet, $\lim \limits_{n \to +\infty} P(|M_n \in [\mu - \delta; \mu + \delta]) = 1$, pour tout $\delta$ strictement positif.
La probabilité que la moyenne d'un grand échantillon se rapproche de l'espérance de l'échantillon est faible.
La probabilité que la moyenne d'un grand échantillon se rapproche de l'espérance de l'échantillon tend vers 0,5.
Question 5
Quelle inégalité utilise-t-on pour démontrer la loi faible des grands nombres ?
L'inégalité sociale
L'inégalité de concentration
C'est la bonne réponse !
L'inégalité de concertation
Question 6
Que dit la l'inégalité de concentration ?
$P(|M_n - \mu| \geq\delta ) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$
C'est la bonne réponse !
$P(|M_n - \mu| \geq\delta ) \leq \dfrac{V}{n\delta}$
$P(|M_n - \mu| \geq\delta ) \leq \dfrac{V}{(n\delta)^2}$
Question 7
De quelle inégalité découle l'inégalité de concentration ?
L'inégalité de la variance variable
L'inégalité de Kirchhoff
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
C'est la bonne réponse.
Pour rappel, cette inégalité est $P(|X - \mu| \geq \delta ) \leq \dfrac{V}{\delta^2}$
Question 8
Quelle propriété utilise-t-on pour démontrer la convergence ?
La croissance de la probabilité
La positivité de la probabilité
En effet, une probabilité est toujours positive.
Une probabilité est toujours inférieure à 1.
Question 9
Quel théorème utilise-t-on pour conclure la convergence ?
Théorème de comparaison
Théorème de la limite monotone
Théorème des gendarmes
En effet, la probabilité est encadrée par deux termes qui tendent vers $0$ en $+\infty$ ce qui achève la démonstration de la loi faible des grands nombres.
Question 10
Pourquoi parle-t-on de la loi faible des grands nombres ?
Car son résultat n'est intéressant que pour de grands échantillons.
En effet, elle donne la limite de la probabilité, ce qui correspond à prendre une taille d'échantillon importante.
Car son résultat est assez décevant et donc faible.
Car l'échantillon doit caractériser des grands nombres.
C'est le bon énoncé !