Fiche de cours
Coefficients binomiaux : $\binom{n}{k}$, $n \in \mathbf{N}$, $k \in \mathbf{N}$, $n\geq k$
Définition
On rappelle la formule des coefficients binomiaux :
$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ pour $0\leq k\leq n$.
Regardons quelques exemples à connaitre :
$\binom{n}{0} = \dfrac{n!}{0!(n)!}=1$
En effet par convention, $0!=1$
Le résultat est cohérent car le coefficient binomial $\binom{n}{0}$ revient à dénombrer les parties à 0 élément d’un ensemble à n éléments. Il n’y a qu’un ensemble possible, c’est l’ensemble vide.
$\binom{n}{1} = \dfrac{n!}{1!(n-1)!}=n$
En effet, $1!=1$ et $n!=n\times (n-1)!$
Le résultat est cohérent car le coefficient binomial $\binom{n}{1}$ revient à dénombrer les parties à 1 élément d’un ensemble à n éléments. Il n’y a donc que les singletons possibles et il y a n singletons : {1}, {2},…,{n}.
$\binom{n}{2} = \dfrac{n!}{2!(n-2)!}$
$\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)\times(n-2)!}{2\times (n-2)!}$
$\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$
En effet, $2!=2\times 1=2$.
Cette formule n&rsquo