Fiche de cours
Coefficients binomiaux $\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)$, $n \in \mathbb{N}$, $k \in \mathbb{N}$, $n \geq k$
On dispose d'un ensemble $E$ à $n$ éléments ($n \in \mathbb{N}^*$), on compte le nombre de parties à $k$ éléments, $1 \leq k \leq n$, de $E$.
Deux questions sont à se poser lorsque l'on s'intéresse à un problème de dénombrement.
En réalisant un tirage de $k$ éléments parmi $n$ éléments, on doit se demander si l'ordre est important et si il y a de la répétition.
Ici, on s'intéresse à une partie à $k$ éléments, ce qui correspond à une poignée de $k$ éléments : l'ordre n'a donc pas d'importance puisque les $k$ éléments sont choisis en même temps et il n'y a pas de répétition.
Par définition, on note $\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)$ le nombre de parties $k$ éléments dans un ensemble $E$ à $n$ éléments, et on lit ce nombre "$k$ parmi $n$".
Exemple :
Un sélectionneur doit choisir $k$ joueurs parmi $n \geq k$ et nommer parmi eux le capitaine.
Pour résoudre ce problème, deux méthodes sont possibles.
Premi