L'énoncé
Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(\left[0;+\infty\right]\) par :
\(f(x)=xe^{-x^2}\) On désigne par \(C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\) du plan.
Cette courbe est représentée ci-dessous.
Question 1
Partie A
Déterminer la limite de la fonction \(f\) au voisinage de \(+\infty\).
On pourra écrire, pour \(x\) différent de 0 : \(f(x)=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{x^2}{e^{x^2}}\).
On a : \(f(x)=xe^{-x^2}=\dfrac{1}{x} \times \dfrac{x^2}{e^{x^2}}\)
Or, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}x^2=+\infty\) et
D'après les résultats de croissances comparées, on sait que \(\displaystyle\lim_{X \to +\infty}\dfrac{X}{e^X}=0\).
Ainsi, par composition : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^2}{e^{x^2}}=0\)
De plus, comme \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x}=0\), on a par produit :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=0\)
Il s’agit d’une forme indéterminée. Cherchez un théorème qui relie les limites et les exponentielles et qui pourrait vous aider.
En remarquant que \(xe^{-x^2}=\dfrac{x}{e^{x^2}}\), modifiez encore cette expression et utilisez le théorème de croissances comparées.
Question 2
Démontrer que \(f\) admet un maximum en \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et calculer ce maximum.
Dressons le tableau de variations de la fonction dérivable \(f\) (produit de fonctions dérivables) sur son domaine \(\left[0;+\infty\right[\).
On a :
\(f'(x)=1e^{-x^2}-2x^2e^{-x^2}\)
\(f'(x)=e^{-x^2}(1-2x^2)\)
\(f'(x)=e^{-x^2}(1-\sqrt{2}x)(1+\sqrt{2}x)\)
Comme une exponentielle est toujours positive, \(f\) est du signe du trinôme \(1-2x^2\)
Ses racines sont \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (hors du domaine).
On obtient alors :
\(f\) admet bien pour maximum \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}}\) en \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Pour justifier l’existence d’un maximum, il faut dériver la fonction et étudier ses variations.
On rappelle que \(\left(e^{u(x)}\right)'=u'(x)\times e^{u(x)}\).
La dérivée s’annule en deux valeurs mais seule une appartient à l’ensemble de définition.
Question 3
Soit \(a\) un nombre réel positif ou nul.
Exprimer en unités d'aire et en fonction de \(a\), l'aire \(F(a)\) de la partie du plan delimitée par la courbe \(C\), l'axe des abscisses et les droites d'équation respectives \(x=0\) et \(x=a\).
Quelle est la limite de \(F(a)\) quand \(a\) tend vers \(+\infty\) ?
Comme la fonction est continue et positive sur \(\left[0 ;a\right]\), l'aire du domaine cherchée est donnée par :
\(F(a)=\displaystyle\int_0^af(x)\,dx\)
\(F(a)=-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^a-2xe^{-x^2}\,dx\)
\(F(a)=-\dfrac{1}{2}\left[e^{-x^2}\right]_0^a\)
\(F(a)=\dfrac{1-e^{-a^2}}{2} u.a\)
Ainsi, \(\displaystyle\lim_{a \to +\infty}F(a)=\dfrac{1}{2}\)
Point méthode :
On cherche une primitive de \(xe^{-x^2}\). On sait qu'une primitive de \(u'(x)×e^{u(x)}\) est \(e^{u(x)}\).
On souhaite donc faire apparaitre \(-2xe^{-x^2}\). On multiplie ainsi cette expression par \(-\dfrac{1}{2}\) pour ne pas changer la valeur de l'intégrale.
C’est une question de cours. Choisissez une valeur de \(a\) et tracez \(F(a)\) sur le graphique ou un brouillon. Avez-vous trouvé ?
Il s’agit d’une aire délimitée par une courbe, l’axe des abscisses et deux droites verticales, c’est donc une intégrale.
Exprimez \(F(a)\) en fonction de \(a\) et calculez sa limite.
Question 4
Partie B
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :
\(u_n=\displaystyle \int_n^{n+1}f(x)\,dx\) On ne cherchera pas à expliciter \(u_n\).
Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) différent de $0$ et de $1$ : \(f(n+1)\leq u_n \leq f(n)\)
On a : \(u_n=\displaystyle\int_n^{n+1}f(x)\,dx\).
D'après la partie A, \(f\) décroit sur \(\left[1;+\infty\right[ \subset \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2};+\infty\right[\) donc par définition :
\(n \leq x \leq n +1 \Rightarrow f (n +1) \leq f (x) \leq f (n)\)
La fonction $f$ est positive donc en passant cet encadrement à l'intégrale, on obtient :
\(\displaystyle \int_n^{n+1}\underbrace{f(n+1)}_{indép.\,de\,x}\,dx\leq u_n \leq \displaystyle \int_n^{n+1}\underbrace{f(n)}_{indép.\,de\,x}\,dx \)
\(f(n+1)\displaystyle \int_n^{n+1}\,dx\leq u_n \leq f(n)\displaystyle \int_n^{n+1}\,dx \)
Or : $\displaystyle \int_n^{n+1}\,dx=\left[x\right]^{n+1}_n=(n+1-n)=1$
Conclusion : \(f(n +1) \leq u_n \leq f(n)\)
Connaissez-vous les variations de \(f (n)\) pour \(n\) supérieur à $1$ ? Il faut ici utiliser la question 2 de la partie A.
Partez de \(n \leq x \leq n+1\) et utilisez les variations de \(f\) pour encadrer \(f(x)\).
Intégrez ensuite ce nouvel encadrement entre \(n\) et \(n+1\).
Question 5
Quel est le sens de variation de la suite \((u_n)\), \({n\geq2}\) ?
D'après le calcul précédent,
\(f(n+2)\leq u_{n+1} \leq f(n+1)\) donc \(f(n+2)\leq u_{n+1} \leq f(n+1) \leq u_n \leq f(n) \)
La suite est donc décroissante.
Encadrez de la même façon \(u_{n+1}\). Comparez ensuite \(u_{n+1}\) et \(u_n\).
Si \(u_{n+1} \leq u_n\) alors…?
Question 6
Montrer que la suite \((u_n)\) converge. Quelle est sa limite ?
Comme \(u_n\) est l'intégrale d'une fonction positive ou nulle sur \(\left[n; n+1\right]\), elle est positive ou nulle (minorée par $0$).
Comme en plus elle est décroissante, elle converge vers un réel \(L\) positif ou nul.
On sait que : \( 0 \leq u_n \leq f(n)\)
Or : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}f(n)=0\)
Donc d'après le théorème des gendarmes, la suite tend vers $0$.
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0$
Savez-vous ce qu’est une suite convergente ?
Cherchez un minorant de \(u_n\).
C'est facile, la fonction \(f(x)\) est positive donc son intégrale est ?
La suite est décroissante et minorée. Que peut-on en conclure ?
On sait que \(0 \leq u_n \leq f(n)\). Calculez la limite de chaque membre de l’encadrement.
Concluez pour la limite de \(u_n\) en utilisant le théorème adapté.
Question 7
Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif \(n\), \(F(n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}u_k\)
On a :
\(F(n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}u_k\)
\(F(n)= u_0+u_1+..+u_n\)
\(F(n)=\displaystyle\int_0^1\,f(x)\,dx +\displaystyle\int_1^2\,f(x)\,dx +..+\displaystyle\int_{n-1}^n\,f(x)\,dx \underbrace{=}_{chasles}\displaystyle\int_0^n\,f(x)\,dx\)
Et on reconnaît bien \(F(n)\).
On reconnait \(F(n)\) en utilisant la relation de Chasles sur les intégrales.
Question 8
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On donne ci-dessous les valeurs de \(F(n)\) obtenues à l'aide d'un tableur, pour \(n\) entier compris entre $3$ et $7$.
Interpréter ces résultats.
| $n$ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| $F(n)$ | 0,4999382951 | 0,4999999437 | 0,5 | 0,5 | 0,5 |
A la question 3, on a trouvé que \(\displaystyle \lim_{a \to +\infty}F(a)=\dfrac{1}{2}\) : ce tableau le confirme en dépit de valeurs approchées et il semble que \(F(n)\) converge très rapidement vers sa limite.
Les valeurs de \(F(n)\) ont-elles quelque chose de particulier ?
Il semblerait que \(F(n)\) tende vers ?
Cette valeur a été trouvée au début du sujet. Revoyez la question 3 de la partie A.